Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56876 / 8945
↖ ↑ ↗
← N 78.366038°
E132.429199°		 ← 123.18 m → N 78.366038°
E132.434693°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
N 78.364931°
E132.429199°		 ← 123.19 m →
15 171 m²		 N 78.364931°
E132.434693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867866516113281 y=0.136497497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867866516113281 × 216)
    floor (0.867866516113281 × 65536)
    floor (56876.5)     		tx = 56876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136497497558594 × 216)
    floor (0.136497497558594 × 65536)
    floor (8945.5)     		ty = 8945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56876 / 8945 ti = "16/56876/8945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56876/8945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56876 ÷ 216
    56876 ÷ 65536     		x = 0.86785888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8945 ÷ 216
    8945 ÷ 65536     		y = 0.136489868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86785888671875 × 2 - 1) × π
    0.7357177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31132555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136489868164062 × 2 - 1) × π
    0.727020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2840015192972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31132555} λ = 2.31132555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2840015192972))-π/2
    2×atan(9.81588036222743)-π/2
    2×1.46927086059233-π/2
    2.93854172118465-1.57079632675     		φ = 1.36774539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31132555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.429199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36774539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.366038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56876 KachelY 8945 2.31132555 1.36774539 132.429199 78.366038
    Oben rechts KachelX + 1 56877 KachelY 8945 2.31142143 1.36774539 132.434693 78.366038
    Unten links KachelX 56876 KachelY + 1 8946 2.31132555 1.36772606 132.429199 78.364931
    Unten rechts KachelX + 1 56877 KachelY + 1 8946 2.31142143 1.36772606 132.434693 78.364931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36774539-1.36772606) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36774539-1.36772606) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31132555-2.31142143) × cos(1.36774539) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.201658522712328 × 6371000     		do = 123.183407053929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31132555-2.31142143) × cos(1.36772606) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.201677455557003 × 6371000     		du = 123.19497221012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36774539)-sin(1.36772606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201658522712328-0.201677455557003)×R²
    abs(2.31142143-2.31132555)×1.89328446754122e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.89328446754122e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.89328446754122e-05×40589641000000     		ar = 15170.924864324m²