Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56876 / 44114
↖ ↑ ↗
← N 50.593699°
W 23.785400°		 ← 193.89 m → N 50.593699°
W 23.782654°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.591956°
W 23.785400°		 ← 193.90 m →
37 590 m²		 N 50.591956°
W 23.782654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433933258056641 y=0.336566925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433933258056641 × 217)
    floor (0.433933258056641 × 131072)
    floor (56876.5)     		tx = 56876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336566925048828 × 217)
    floor (0.336566925048828 × 131072)
    floor (44114.5)     		ty = 44114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56876 / 44114 ti = "17/56876/44114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56876/44114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56876 ÷ 217
    56876 ÷ 131072     		x = 0.433929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44114 ÷ 217
    44114 ÷ 131072     		y = 0.336563110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.13214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41513355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336563110351562 × 2 - 1) × π
    0.326873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02690426366084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41513355} λ = -0.41513355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02690426366084))-π/2
    2×atan(2.79240788169062)-π/2
    2×1.22691147941325-π/2
    2.4538229588265-1.57079632675     		φ = 0.88302663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41513355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.785400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88302663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.593699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56876 KachelY 44114 -0.41513355 0.88302663 -23.785400 50.593699
    Oben rechts KachelX + 1 56877 KachelY 44114 -0.41508561 0.88302663 -23.782654 50.593699
    Unten links KachelX 56876 KachelY + 1 44115 -0.41513355 0.88299620 -23.785400 50.591956
    Unten rechts KachelX + 1 56877 KachelY + 1 44115 -0.41508561 0.88299620 -23.782654 50.591956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88302663-0.88299620) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88302663-0.88299620) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41513355--0.41508561) × cos(0.88302663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634815488041199 × 6371000     		do = 193.888990198542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41513355--0.41508561) × cos(0.88299620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634838999905697 × 6371000     		du = 193.896171327155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88302663)-sin(0.88299620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634815488041199-0.634838999905697)×R²
    abs(-0.41508561--0.41513355)×2.35118644978938e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35118644978938e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35118644978938e-05×40589641000000     		ar = 37589.8635059845m²