Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56874 / 8985
↖ ↑ ↗
← N 78.321646°
E132.418213°		 ← 123.65 m → N 78.321646°
E132.423706°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
N 78.320533°
E132.418213°		 ← 123.66 m →
15 291 m²		 N 78.320533°
E132.423706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867835998535156 y=0.137107849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867835998535156 × 216)
    floor (0.867835998535156 × 65536)
    floor (56874.5)     		tx = 56874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137107849121094 × 216)
    floor (0.137107849121094 × 65536)
    floor (8985.5)     		ty = 8985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56874 / 8985 ti = "16/56874/8985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56874/8985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56874 ÷ 216
    56874 ÷ 65536     		x = 0.867828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8985 ÷ 216
    8985 ÷ 65536     		y = 0.137100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867828369140625 × 2 - 1) × π
    0.73565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31113380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137100219726562 × 2 - 1) × π
    0.725799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28016656732759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31113380} λ = 2.31113380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28016656732759))-π/2
    2×atan(9.77830902069037)-π/2
    2×1.46888345814627-π/2
    2.93776691629254-1.57079632675     		φ = 1.36697059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31113380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.418213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36697059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.321646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56874 KachelY 8985 2.31113380 1.36697059 132.418213 78.321646
    Oben rechts KachelX + 1 56875 KachelY 8985 2.31122968 1.36697059 132.423706 78.321646
    Unten links KachelX 56874 KachelY + 1 8986 2.31113380 1.36695118 132.418213 78.320533
    Unten rechts KachelX + 1 56875 KachelY + 1 8986 2.31122968 1.36695118 132.423706 78.320533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36697059-1.36695118) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dl = 123.66110999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36697059-1.36695118) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dr = 123.66110999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31113380-2.31122968) × cos(1.36697059) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202417344530559 × 6371000     		do = 123.646934484081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31113380-2.31122968) × cos(1.36695118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202436352692828 × 6371000     		du = 123.658545648135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36697059)-sin(1.36695118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202417344530559-0.202436352692828)×R²
    abs(2.31122968-2.31113380)×1.90081622691574e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90081622691574e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90081622691574e-05×40589641000000     		ar = 15291.0350916682m²