Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56874 / 44113
↖ ↑ ↗
← N 50.595443°
W 23.790893°		 ← 193.84 m → N 50.595443°
W 23.788147°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.593699°
W 23.790893°		 ← 193.85 m →
37 581 m²		 N 50.593699°
W 23.788147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433917999267578 y=0.336559295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433917999267578 × 217)
    floor (0.433917999267578 × 131072)
    floor (56874.5)     		tx = 56874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336559295654297 × 217)
    floor (0.336559295654297 × 131072)
    floor (44113.5)     		ty = 44113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56874 / 44113 ti = "17/56874/44113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56874/44113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56874 ÷ 217
    56874 ÷ 131072     		x = 0.433914184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44113 ÷ 217
    44113 ÷ 131072     		y = 0.336555480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433914184570312 × 2 - 1) × π
    -0.132171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41522942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336555480957031 × 2 - 1) × π
    0.326889038085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02695220056046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41522942} λ = -0.41522942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02695220056046))-π/2
    2×atan(2.7925417442754)-π/2
    2×1.22692669467459-π/2
    2.45385338934919-1.57079632675     		φ = 0.88305706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41522942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.790893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88305706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.595443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56874 KachelY 44113 -0.41522942 0.88305706 -23.790893 50.595443
    Oben rechts KachelX + 1 56875 KachelY 44113 -0.41518149 0.88305706 -23.788147 50.595443
    Unten links KachelX 56874 KachelY + 1 44114 -0.41522942 0.88302663 -23.790893 50.593699
    Unten rechts KachelX + 1 56875 KachelY + 1 44114 -0.41518149 0.88302663 -23.788147 50.593699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88305706-0.88302663) × R
    3.04299999999147e-05 × 6371000     		dl = 193.869529999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88305706-0.88302663) × R
    3.04299999999147e-05 × 6371000     		dr = 193.869529999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41522942--0.41518149) × cos(0.88305706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634791975588872 × 6371000     		do = 193.841366293647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41522942--0.41518149) × cos(0.88302663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634815488041199 × 6371000     		du = 193.84854610382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88305706)-sin(0.88302663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634791975588872-0.634815488041199)×R²
    abs(-0.41518149--0.41522942)×2.35124523272345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35124523272345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35124523272345e-05×40589641000000     		ar = 37580.6305538441m²