Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56873 / 44119
↖ ↑ ↗
← N 50.584980°
W 23.793640°		 ← 193.92 m → N 50.584980°
W 23.790893°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.583237°
W 23.793640°		 ← 193.93 m →
37 597 m²		 N 50.583237°
W 23.790893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433910369873047 y=0.336605072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433910369873047 × 217)
    floor (0.433910369873047 × 131072)
    floor (56873.5)     		tx = 56873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336605072021484 × 217)
    floor (0.336605072021484 × 131072)
    floor (44119.5)     		ty = 44119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56873 / 44119 ti = "17/56873/44119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56873/44119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56873 ÷ 217
    56873 ÷ 131072     		x = 0.433906555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44119 ÷ 217
    44119 ÷ 131072     		y = 0.336601257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433906555175781 × 2 - 1) × π
    -0.132186889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41527736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336601257324219 × 2 - 1) × π
    0.326797485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02666457916274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41527736} λ = -0.41527736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02666457916274))-π/2
    2×atan(2.79173866501264)-π/2
    2×1.22683539465285-π/2
    2.45367078930571-1.57079632675     		φ = 0.88287446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41527736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.793640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88287446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.584980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56873 KachelY 44119 -0.41527736 0.88287446 -23.793640 50.584980
    Oben rechts KachelX + 1 56874 KachelY 44119 -0.41522942 0.88287446 -23.790893 50.584980
    Unten links KachelX 56873 KachelY + 1 44120 -0.41527736 0.88284403 -23.793640 50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 56874 KachelY + 1 44120 -0.41522942 0.88284403 -23.790893 50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88287446-0.88284403) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88287446-0.88284403) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41527736--0.41522942) × cos(0.88287446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6349330569363 × 6371000     		do = 193.924898765105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41527736--0.41522942) × cos(0.88284403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 193.932078995808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88287446)-sin(0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6349330569363-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.41522942--0.41527736)×2.35089246369835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35089246369835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35089246369835e-05×40589641000000     		ar = 37596.8249957349m²