Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56870 / 8998
↖ ↑ ↗
← N 78.307182°
E132.396240°		 ← 123.79 m → N 78.307182°
E132.401733°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
N 78.306069°
E132.396240°		 ← 123.80 m →
15 324 m²		 N 78.306069°
E132.401733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867774963378906 y=0.137306213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867774963378906 × 216)
    floor (0.867774963378906 × 65536)
    floor (56870.5)     		tx = 56870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137306213378906 × 216)
    floor (0.137306213378906 × 65536)
    floor (8998.5)     		ty = 8998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56870 / 8998 ti = "16/56870/8998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56870/8998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56870 ÷ 216
    56870 ÷ 65536     		x = 0.867767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8998 ÷ 216
    8998 ÷ 65536     		y = 0.137298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867767333984375 × 2 - 1) × π
    0.73553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31075031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137298583984375 × 2 - 1) × π
    0.72540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27892020793747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31075031} λ = 2.31075031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27892020793747))-π/2
    2×atan(9.76612932513856)-π/2
    2×1.46875723875483-π/2
    2.93751447750965-1.57079632675     		φ = 1.36671815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31075031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.396240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36671815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.307182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56870 KachelY 8998 2.31075031 1.36671815 132.396240 78.307182
    Oben rechts KachelX + 1 56871 KachelY 8998 2.31084618 1.36671815 132.401733 78.307182
    Unten links KachelX 56870 KachelY + 1 8999 2.31075031 1.36669872 132.396240 78.306069
    Unten rechts KachelX + 1 56871 KachelY + 1 8999 2.31084618 1.36669872 132.401733 78.306069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36671815-1.36669872) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36671815-1.36669872) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31075031-2.31084618) × cos(1.36671815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20266455240645 × 6371000     		do = 123.785030022381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31075031-2.31084618) × cos(1.36669872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202683579161136 × 6371000     		du = 123.796651331446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36671815)-sin(1.36669872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20266455240645-0.202683579161136)×R²
    abs(2.31084618-2.31075031)×1.90267546860134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90267546860134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90267546860134e-05×40589641000000     		ar = 15323.8861953256m²