Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56870 / 44103
↖ ↑ ↗
← N 50.612875°
W 23.801880°		 ← 193.77 m → N 50.612875°
W 23.799134°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 50.611132°
W 23.801880°		 ← 193.78 m →
37 554 m²		 N 50.611132°
W 23.799134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433887481689453 y=0.336483001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433887481689453 × 217)
    floor (0.433887481689453 × 131072)
    floor (56870.5)     		tx = 56870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336483001708984 × 217)
    floor (0.336483001708984 × 131072)
    floor (44103.5)     		ty = 44103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56870 / 44103 ti = "17/56870/44103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56870/44103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56870 ÷ 217
    56870 ÷ 131072     		x = 0.433883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44103 ÷ 217
    44103 ÷ 131072     		y = 0.336479187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433883666992188 × 2 - 1) × π
    -0.132232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41542117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336479187011719 × 2 - 1) × π
    0.327041625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02743156955666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41542117} λ = -0.41542117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02743156955666))-π/2
    2×atan(2.79388072311503)-π/2
    2×1.22707881629315-π/2
    2.45415763258631-1.57079632675     		φ = 0.88336131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41542117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.801880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88336131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.612875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56870 KachelY 44103 -0.41542117 0.88336131 -23.801880 50.612875
    Oben rechts KachelX + 1 56871 KachelY 44103 -0.41537324 0.88336131 -23.799134 50.612875
    Unten links KachelX 56870 KachelY + 1 44104 -0.41542117 0.88333089 -23.801880 50.611132
    Unten rechts KachelX + 1 56871 KachelY + 1 44104 -0.41537324 0.88333089 -23.799134 50.611132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88336131-0.88333089) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88336131-0.88333089) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41542117--0.41537324) × cos(0.88336131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634556857383573 × 6371000     		do = 193.769570121187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41542117--0.41537324) × cos(0.88333089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634580367983464 × 6371000     		du = 193.776749365696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88336131)-sin(0.88333089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634556857383573-0.634580367983464)×R²
    abs(-0.41537324--0.41542117)×2.35105998910301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35105998910301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35105998910301e-05×40589641000000     		ar = 37554.3661208434m²