Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56870 / 18053
↖ ↑ ↗
← N 78.275411°
W 23.801880°		 ← 62.05 m → N 78.275411°
W 23.799134°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.274853°
W 23.801880°		 ← 62.05 m →
3 851 m²		 N 78.274853°
W 23.799134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433887481689453 y=0.137737274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433887481689453 × 217)
    floor (0.433887481689453 × 131072)
    floor (56870.5)     		tx = 56870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137737274169922 × 217)
    floor (0.137737274169922 × 131072)
    floor (18053.5)     		ty = 18053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56870 / 18053 ti = "17/56870/18053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56870/18053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56870 ÷ 217
    56870 ÷ 131072     		x = 0.433883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18053 ÷ 217
    18053 ÷ 131072     		y = 0.137733459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433883666992188 × 2 - 1) × π
    -0.132232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41542117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137733459472656 × 2 - 1) × π
    0.724533081054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.27618780465913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41542117} λ = -0.41542117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27618780465913))-π/2
    2×atan(9.73948074526724)-π/2
    2×1.46847998737077-π/2
    2.93695997474153-1.57079632675     		φ = 1.36616365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41542117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.801880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36616365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.275411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56870 KachelY 18053 -0.41542117 1.36616365 -23.801880 78.275411
    Oben rechts KachelX + 1 56871 KachelY 18053 -0.41537324 1.36616365 -23.799134 78.275411
    Unten links KachelX 56870 KachelY + 1 18054 -0.41542117 1.36615391 -23.801880 78.274853
    Unten rechts KachelX + 1 56871 KachelY + 1 18054 -0.41537324 1.36615391 -23.799134 78.274853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36616365-1.36615391) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36616365-1.36615391) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41542117--0.41537324) × cos(1.36616365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203207514360754 × 6371000     		do = 62.0518590964921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41542117--0.41537324) × cos(1.36615391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203217051132769 × 6371000     		du = 62.0547712645542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36616365)-sin(1.36615391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203207514360754-0.203217051132769)×R²
    abs(-0.41537324--0.41542117)×9.53677201484537e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53677201484537e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53677201484537e-06×40589641000000     		ar = 3850.62787580304m²