Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5687 / 11863
↖ ↑ ↗
← S 62.502175°
W 55.041504°		 ← 1 128.10 m → S 62.502175°
W 55.019531°		 →
↑
1 127.86 m
↓
↑
1 127.86 m
↓
S 62.512318°
W 55.041504°		 ← 1 127.71 m →
1 272 118 m²		 S 62.512318°
W 55.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347137451171875 y=0.724090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347137451171875 × 214)
    floor (0.347137451171875 × 16384)
    floor (5687.5)     		tx = 5687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724090576171875 × 214)
    floor (0.724090576171875 × 16384)
    floor (11863.5)     		ty = 11863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5687 / 11863 ti = "14/5687/11863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5687/11863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5687 ÷ 214
    5687 ÷ 16384     		x = 0.34710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11863 ÷ 214
    11863 ÷ 16384     		y = 0.72406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96065547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.4481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40781086804181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96065547} λ = -0.96065547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40781086804181))-π/2
    2×atan(0.244678330447856)-π/2
    2×0.23996379554312-π/2
    0.47992759108624-1.57079632675     		φ = -1.09086874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96065547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09086874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.502175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5687 KachelY 11863 -0.96065547 -1.09086874 -55.041504 -62.502175
    Oben rechts KachelX + 1 5688 KachelY 11863 -0.96027197 -1.09086874 -55.019531 -62.502175
    Unten links KachelX 5687 KachelY + 1 11864 -0.96065547 -1.09104577 -55.041504 -62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 5688 KachelY + 1 11864 -0.96027197 -1.09104577 -55.019531 -62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09086874--1.09104577) × R
    0.000177030000000133 × 6371000     		dl = 1127.85813000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09086874--1.09104577) × R
    0.000177030000000133 × 6371000     		dr = 1127.85813000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96065547--0.96027197) × cos(-1.09086874) × R
    0.000383499999999981 × 0.461714944185561 × 6371000     		do = 1128.09819625723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96065547--0.96027197) × cos(-1.09104577) × R
    0.000383499999999981 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 1127.7145090189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09086874)-sin(-1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461714944185561-0.461557906320937)×R²
    abs(-0.96027197--0.96065547)×0.000157037864623732×R²
    0.000383499999999981×0.000157037864623732×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157037864623732×40589641000000     		ar = 1272118.35302499m²