Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56869 / 8999
↖ ↑ ↗
← N 78.306069°
E132.390747°		 ← 123.80 m → N 78.306069°
E132.396240°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
N 78.304955°
E132.390747°		 ← 123.81 m →
15 325 m²		 N 78.304955°
E132.396240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867759704589844 y=0.137321472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867759704589844 × 216)
    floor (0.867759704589844 × 65536)
    floor (56869.5)     		tx = 56869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137321472167969 × 216)
    floor (0.137321472167969 × 65536)
    floor (8999.5)     		ty = 8999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56869 / 8999 ti = "16/56869/8999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56869/8999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56869 ÷ 216
    56869 ÷ 65536     		x = 0.867752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8999 ÷ 216
    8999 ÷ 65536     		y = 0.137313842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867752075195312 × 2 - 1) × π
    0.735504150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31065444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137313842773438 × 2 - 1) × π
    0.725372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27882433413823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31065444} λ = 2.31065444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27882433413823))-π/2
    2×atan(9.76519305409893)-π/2
    2×1.46874752318849-π/2
    2.93749504637699-1.57079632675     		φ = 1.36669872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31065444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.390747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36669872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.306069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56869 KachelY 8999 2.31065444 1.36669872 132.390747 78.306069
    Oben rechts KachelX + 1 56870 KachelY 8999 2.31075031 1.36669872 132.396240 78.306069
    Unten links KachelX 56869 KachelY + 1 9000 2.31065444 1.36667929 132.390747 78.304955
    Unten rechts KachelX + 1 56870 KachelY + 1 9000 2.31075031 1.36667929 132.396240 78.304955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36669872-1.36667929) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36669872-1.36667929) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31065444-2.31075031) × cos(1.36669872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202683579161136 × 6371000     		do = 123.796651331446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31065444-2.31075031) × cos(1.36667929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202702605839304 × 6371000     		du = 123.808272593775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36669872)-sin(1.36667929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202683579161136-0.202702605839304)×R²
    abs(2.31075031-2.31065444)×1.9026678167916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9026678167916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9026678167916e-05×40589641000000     		ar = 15325.3247774633m²