Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56868 / 85476
↖ ↑ ↗
← S 47.938427°
W 23.807373°		 ← 204.61 m → S 47.938427°
W 23.804627°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 47.940267°
W 23.807373°		 ← 204.61 m →
41 858 m²		 S 47.940267°
W 23.804627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433872222900391 y=0.652133941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433872222900391 × 217)
    floor (0.433872222900391 × 131072)
    floor (56868.5)     		tx = 56868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652133941650391 × 217)
    floor (0.652133941650391 × 131072)
    floor (85476.5)     		ty = 85476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56868 / 85476 ti = "17/56868/85476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56868/85476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56868 ÷ 217
    56868 ÷ 131072     		x = 0.433868408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85476 ÷ 217
    85476 ÷ 131072     		y = 0.652130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.13226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41551705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.30426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.95586177842392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41551705} λ = -0.41551705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95586177842392))-π/2
    2×atan(0.384480664601191)-π/2
    2×0.36705646933352-π/2
    0.73411293866704-1.57079632675     		φ = -0.83668339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41551705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.807373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83668339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.938427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56868 KachelY 85476 -0.41551705 -0.83668339 -23.807373 -47.938427
    Oben rechts KachelX + 1 56869 KachelY 85476 -0.41546911 -0.83668339 -23.804627 -47.938427
    Unten links KachelX 56868 KachelY + 1 85477 -0.41551705 -0.83671550 -23.807373 -47.940267
    Unten rechts KachelX + 1 56869 KachelY + 1 85477 -0.41546911 -0.83671550 -23.804627 -47.940267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83668339--0.83671550) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dl = 204.572809999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83668339--0.83671550) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dr = 204.572809999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41551705--0.41546911) × cos(-0.83668339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		do = 204.613512047216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41551705--0.41546911) × cos(-0.83671550) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669905001500061 × 6371000     		du = 204.60623081296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83668339)-sin(-0.83671550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669928841122276-0.669905001500061)×R²
    abs(-0.41546911--0.41551705)×2.38396222150827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38396222150827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38396222150827e-05×40589641000000     		ar = 41857.6163558006m²