Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56864 / 44051
↖ ↑ ↗
← N 50.703416°
W 23.818359°		 ← 193.40 m → N 50.703416°
W 23.815613°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
N 50.701676°
W 23.818359°		 ← 193.40 m →
37 408 m²		 N 50.701676°
W 23.815613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433841705322266 y=0.336086273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433841705322266 × 217)
    floor (0.433841705322266 × 131072)
    floor (56864.5)     		tx = 56864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336086273193359 × 217)
    floor (0.336086273193359 × 131072)
    floor (44051.5)     		ty = 44051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56864 / 44051 ti = "17/56864/44051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56864/44051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56864 ÷ 217
    56864 ÷ 131072     		x = 0.433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44051 ÷ 217
    44051 ÷ 131072     		y = 0.336082458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336082458496094 × 2 - 1) × π
    0.327835083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02992428833691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41570879} λ = -0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02992428833691))-π/2
    2×atan(2.80085376937431)-π/2
    2×1.22786894050923-π/2
    2.45573788101847-1.57079632675     		φ = 0.88494155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88494155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.703416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56864 KachelY 44051 -0.41570879 0.88494155 -23.818359 50.703416
    Oben rechts KachelX + 1 56865 KachelY 44051 -0.41566086 0.88494155 -23.815613 50.703416
    Unten links KachelX 56864 KachelY + 1 44052 -0.41570879 0.88491119 -23.818359 50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 56865 KachelY + 1 44052 -0.41566086 0.88491119 -23.815613 50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88494155-0.88491119) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88494155-0.88491119) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41570879--0.41566086) × cos(0.88494155) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633334735737601 × 6371000     		do = 193.396380574242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41570879--0.41566086) × cos(0.88491119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 193.40355494621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88494155)-sin(0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633334735737601-0.633358230380886)×R²
    abs(-0.41566086--0.41570879)×2.34946432849936e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34946432849936e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34946432849936e-05×40589641000000     		ar = 37408.1102710066m²