Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56863 / 83965
↖ ↑ ↗
← S 45.083218°
W 23.821106°		 ← 215.65 m → S 45.083218°
W 23.818359°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 45.085157°
W 23.821106°		 ← 215.65 m →
46 507 m²		 S 45.085157°
W 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433834075927734 y=0.640605926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433834075927734 × 217)
    floor (0.433834075927734 × 131072)
    floor (56863.5)     		tx = 56863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640605926513672 × 217)
    floor (0.640605926513672 × 131072)
    floor (83965.5)     		ty = 83965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56863 / 83965 ti = "17/56863/83965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56863/83965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56863 ÷ 217
    56863 ÷ 131072     		x = 0.433830261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83965 ÷ 217
    83965 ÷ 131072     		y = 0.640602111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433830261230469 × 2 - 1) × π
    -0.132339477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41575673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640602111816406 × 2 - 1) × π
    -0.281204223632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.883429123098015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41575673} λ = -0.41575673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883429123098015))-π/2
    2×atan(0.41336300592566)-π/2
    2×0.391972868101893-π/2
    0.783945736203787-1.57079632675     		φ = -0.78685059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41575673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.821106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78685059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.083218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56863 KachelY 83965 -0.41575673 -0.78685059 -23.821106 -45.083218
    Oben rechts KachelX + 1 56864 KachelY 83965 -0.41570879 -0.78685059 -23.818359 -45.083218
    Unten links KachelX 56863 KachelY + 1 83966 -0.41575673 -0.78688444 -23.821106 -45.085157
    Unten rechts KachelX + 1 56864 KachelY + 1 83966 -0.41570879 -0.78688444 -23.818359 -45.085157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78685059--0.78688444) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78685059--0.78688444) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41575673--0.41570879) × cos(-0.78685059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.706079015011836 × 6371000     		do = 215.65470565857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41575673--0.41570879) × cos(-0.78688444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		du = 215.647384387203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78685059)-sin(-0.78688444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706079015011836-0.706055044303385)×R²
    abs(-0.41570879--0.41575673)×2.39707084510599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39707084510599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39707084510599e-05×40589641000000     		ar = 46506.9485500141m²