Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56863 / 17953
↖ ↑ ↗
← N 78.331093°
W 23.821106°		 ← 61.77 m → N 78.331093°
W 23.818359°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.330537°
W 23.821106°		 ← 61.78 m →
3 818 m²		 N 78.330537°
W 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433834075927734 y=0.136974334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433834075927734 × 217)
    floor (0.433834075927734 × 131072)
    floor (56863.5)     		tx = 56863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136974334716797 × 217)
    floor (0.136974334716797 × 131072)
    floor (17953.5)     		ty = 17953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56863 / 17953 ti = "17/56863/17953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56863/17953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56863 ÷ 217
    56863 ÷ 131072     		x = 0.433830261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17953 ÷ 217
    17953 ÷ 131072     		y = 0.136970520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433830261230469 × 2 - 1) × π
    -0.132339477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41575673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136970520019531 × 2 - 1) × π
    0.726058959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28098149462113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41575673} λ = -0.41575673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28098149462113))-π/2
    2×atan(9.78628087939745)-π/2
    2×1.46896590295323-π/2
    2.93793180590646-1.57079632675     		φ = 1.36713548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41575673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.821106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36713548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.331093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56863 KachelY 17953 -0.41575673 1.36713548 -23.821106 78.331093
    Oben rechts KachelX + 1 56864 KachelY 17953 -0.41570879 1.36713548 -23.818359 78.331093
    Unten links KachelX 56863 KachelY + 1 17954 -0.41575673 1.36712578 -23.821106 78.330537
    Unten rechts KachelX + 1 56864 KachelY + 1 17954 -0.41570879 1.36712578 -23.818359 78.330537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36713548-1.36712578) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36713548-1.36712578) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41575673--0.41570879) × cos(1.36713548) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.20225586510959 × 6371000     		do = 61.7741472704679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41575673--0.41570879) × cos(1.36712578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.202265364627402 × 6371000     		du = 61.7770486677252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36713548)-sin(1.36712578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20225586510959-0.202265364627402)×R²
    abs(-0.41570879--0.41575673)×9.49951781198388e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.49951781198388e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.49951781198388e-06×40589641000000     		ar = 3817.65164616578m²