Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5686 / 11892
↖ ↑ ↗
← S 62.794935°
W 55.063476°		 ← 1 116.98 m → S 62.794935°
W 55.041504°		 →
↑
1 116.77 m
↓
↑
1 116.77 m
↓
S 62.804978°
W 55.063476°		 ← 1 116.60 m →
1 247 201 m²		 S 62.804978°
W 55.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347076416015625 y=0.725860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347076416015625 × 214)
    floor (0.347076416015625 × 16384)
    floor (5686.5)     		tx = 5686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725860595703125 × 214)
    floor (0.725860595703125 × 16384)
    floor (11892.5)     		ty = 11892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5686 / 11892 ti = "14/5686/11892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5686/11892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5686 ÷ 214
    5686 ÷ 16384     		x = 0.3470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11892 ÷ 214
    11892 ÷ 16384     		y = 0.725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96103896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96103896} λ = -0.96103896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41893222875366))-π/2
    2×atan(0.241972250016531)-π/2
    2×0.237408979800864-π/2
    0.474817959601729-1.57079632675     		φ = -1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96103896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.063476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5686 KachelY 11892 -0.96103896 -1.09597837 -55.063476 -62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 5687 KachelY 11892 -0.96065547 -1.09597837 -55.041504 -62.794935
    Unten links KachelX 5686 KachelY + 1 11893 -0.96103896 -1.09615366 -55.063476 -62.804978
    Unten rechts KachelX + 1 5687 KachelY + 1 11893 -0.96065547 -1.09615366 -55.041504 -62.804978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09597837--1.09615366) × R
    0.000175289999999828 × 6371000     		dl = 1116.7725899989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09597837--1.09615366) × R
    0.000175289999999828 × 6371000     		dr = 1116.7725899989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96103896--0.96065547) × cos(-1.09597837) × R
    0.000383490000000042 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 1116.98050836796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96103896--0.96065547) × cos(-1.09615366) × R
    0.000383490000000042 × 0.457020644169134 × 6371000     		du = 1116.59959716948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09597837)-sin(-1.09615366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.457020644169134)×R²
    abs(-0.96065547--0.96103896)×0.000155905735360062×R²
    0.000383490000000042×0.000155905735360062×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155905735360062×40589641000000     		ar = 1247200.52290925m²