Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56857 / 84477
↖ ↑ ↗
← S 46.067514°
W 23.837585°		 ← 211.91 m → S 46.067514°
W 23.834839°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.069420°
W 23.837585°		 ← 211.90 m →
44 902 m²		 S 46.069420°
W 23.834839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433788299560547 y=0.644512176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433788299560547 × 217)
    floor (0.433788299560547 × 131072)
    floor (56857.5)     		tx = 56857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644512176513672 × 217)
    floor (0.644512176513672 × 131072)
    floor (84477.5)     		ty = 84477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56857 / 84477 ti = "17/56857/84477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56857/84477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56857 ÷ 217
    56857 ÷ 131072     		x = 0.433784484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84477 ÷ 217
    84477 ÷ 131072     		y = 0.644508361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433784484863281 × 2 - 1) × π
    -0.132431030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41604435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644508361816406 × 2 - 1) × π
    -0.289016723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.907972815703484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41604435} λ = -0.41604435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907972815703484))-π/2
    2×atan(0.403341042460584)-π/2
    2×0.383383263770153-π/2
    0.766766527540306-1.57079632675     		φ = -0.80402980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41604435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.837585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80402980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.067514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56857 KachelY 84477 -0.41604435 -0.80402980 -23.837585 -46.067514
    Oben rechts KachelX + 1 56858 KachelY 84477 -0.41599641 -0.80402980 -23.834839 -46.067514
    Unten links KachelX 56857 KachelY + 1 84478 -0.41604435 -0.80406306 -23.837585 -46.069420
    Unten rechts KachelX + 1 56858 KachelY + 1 84478 -0.41599641 -0.80406306 -23.834839 -46.069420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80402980--0.80406306) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80402980--0.80406306) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41604435--0.41599641) × cos(-0.80402980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693810258593335 × 6371000     		do = 211.907511650567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41604435--0.41599641) × cos(-0.80406306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693786305759581 × 6371000     		du = 211.900195838593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80402980)-sin(-0.80406306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693810258593335-0.693786305759581)×R²
    abs(-0.41599641--0.41604435)×2.3952833753893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3952833753893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3952833753893e-05×40589641000000     		ar = 44902.3121846008m²