Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56853 / 84108
↖ ↑ ↗
← S 45.359865°
W 23.848572°		 ← 214.61 m → S 45.359865°
W 23.845825°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.361795°
W 23.848572°		 ← 214.60 m →
46 049 m²		 S 45.361795°
W 23.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433757781982422 y=0.641696929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433757781982422 × 217)
    floor (0.433757781982422 × 131072)
    floor (56853.5)     		tx = 56853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641696929931641 × 217)
    floor (0.641696929931641 × 131072)
    floor (84108.5)     		ty = 84108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56853 / 84108 ti = "17/56853/84108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56853/84108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56853 ÷ 217
    56853 ÷ 131072     		x = 0.433753967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84108 ÷ 217
    84108 ÷ 131072     		y = 0.641693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433753967285156 × 2 - 1) × π
    -0.132492065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.41623610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.28338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.890284099743683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41623610} λ = -0.41623610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890284099743683))-π/2
    2×atan(0.410539102129237)-π/2
    2×0.389558664236971-π/2
    0.779117328473942-1.57079632675     		φ = -0.79167900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41623610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.848572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79167900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.359865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56853 KachelY 84108 -0.41623610 -0.79167900 -23.848572 -45.359865
    Oben rechts KachelX + 1 56854 KachelY 84108 -0.41618816 -0.79167900 -23.845825 -45.359865
    Unten links KachelX 56853 KachelY + 1 84109 -0.41623610 -0.79171268 -23.848572 -45.361795
    Unten rechts KachelX + 1 56854 KachelY + 1 84109 -0.41618816 -0.79171268 -23.845825 -45.361795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79167900--0.79171268) × R
    3.36799999999249e-05 × 6371000     		dl = 214.575279999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79167900--0.79171268) × R
    3.36799999999249e-05 × 6371000     		dr = 214.575279999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41623610--0.41618816) × cos(-0.79167900) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.702651640984049 × 6371000     		do = 214.607897409875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41623610--0.41618816) × cos(-0.79171268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.702627676119504 × 6371000     		du = 214.600577923388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79167900)-sin(-0.79171268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702651640984049-0.702627676119504)×R²
    abs(-0.41618816--0.41623610)×2.39648645448121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39648645448121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39648645448121e-05×40589641000000     		ar = 46048.7643907443m²