Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5685 / 11882
↖ ↑ ↗
← S 62.694309°
W 55.085449°		 ← 1 120.82 m → S 62.694309°
W 55.063476°		 →
↑
1 120.66 m
↓
↑
1 120.66 m
↓
S 62.704388°
W 55.085449°		 ← 1 120.44 m →
1 255 848 m²		 S 62.704388°
W 55.063476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347015380859375 y=0.725250244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347015380859375 × 214)
    floor (0.347015380859375 × 16384)
    floor (5685.5)     		tx = 5685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725250244140625 × 214)
    floor (0.725250244140625 × 16384)
    floor (11882.5)     		ty = 11882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5685 / 11882 ti = "14/5685/11882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5685/11882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5685 ÷ 214
    5685 ÷ 16384     		x = 0.34698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11882 ÷ 214
    11882 ÷ 16384     		y = 0.7252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96142246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41509727678406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96142246} λ = -0.96142246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41509727678406))-π/2
    2×atan(0.242901983575639)-π/2
    2×0.23828710106968-π/2
    0.47657420213936-1.57079632675     		φ = -1.09422212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96142246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09422212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.694309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5685 KachelY 11882 -0.96142246 -1.09422212 -55.085449 -62.694309
    Oben rechts KachelX + 1 5686 KachelY 11882 -0.96103896 -1.09422212 -55.063476 -62.694309
    Unten links KachelX 5685 KachelY + 1 11883 -0.96142246 -1.09439802 -55.085449 -62.704388
    Unten rechts KachelX + 1 5686 KachelY + 1 11883 -0.96103896 -1.09439802 -55.063476 -62.704388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09422212--1.09439802) × R
    0.000175900000000118 × 6371000     		dl = 1120.65890000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09422212--1.09439802) × R
    0.000175900000000118 × 6371000     		dr = 1120.65890000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96142246--0.96103896) × cos(-1.09422212) × R
    0.000383499999999981 × 0.458737810574518 × 6371000     		do = 1120.82422971374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96142246--0.96103896) × cos(-1.09439802) × R
    0.000383499999999981 × 0.458581503720878 × 6371000     		du = 1120.44232853884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09422212)-sin(-1.09439802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458737810574518-0.458581503720878)×R²
    abs(-0.96103896--0.96142246)×0.000156306853640487×R²
    0.000383499999999981×0.000156306853640487×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156306853640487×40589641000000     		ar = 1255847.66112781m²