Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5685 / 11877
↖ ↑ ↗
← S 62.643868°
W 55.085449°		 ← 1 122.74 m → S 62.643868°
W 55.063476°		 →
↑
1 122.51 m
↓
↑
1 122.51 m
↓
S 62.653963°
W 55.085449°		 ← 1 122.35 m →
1 260 063 m²		 S 62.653963°
W 55.063476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347015380859375 y=0.724945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347015380859375 × 214)
    floor (0.347015380859375 × 16384)
    floor (5685.5)     		tx = 5685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724945068359375 × 214)
    floor (0.724945068359375 × 16384)
    floor (11877.5)     		ty = 11877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5685 / 11877 ti = "14/5685/11877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5685/11877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5685 ÷ 214
    5685 ÷ 16384     		x = 0.34698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11877 ÷ 214
    11877 ÷ 16384     		y = 0.72491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96142246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41317980079926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96142246} λ = -0.96142246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41317980079926))-π/2
    2×atan(0.243368189121933)-π/2
    2×0.238727285266173-π/2
    0.477454570532346-1.57079632675     		φ = -1.09334176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96142246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09334176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.643868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5685 KachelY 11877 -0.96142246 -1.09334176 -55.085449 -62.643868
    Oben rechts KachelX + 1 5686 KachelY 11877 -0.96103896 -1.09334176 -55.063476 -62.643868
    Unten links KachelX 5685 KachelY + 1 11878 -0.96142246 -1.09351795 -55.085449 -62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 5686 KachelY + 1 11878 -0.96103896 -1.09351795 -55.063476 -62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09334176--1.09351795) × R
    0.000176190000000132 × 6371000     		dl = 1122.50649000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09334176--1.09351795) × R
    0.000176190000000132 × 6371000     		dr = 1122.50649000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96142246--0.96103896) × cos(-1.09334176) × R
    0.000383499999999981 × 0.459519895664419 × 6371000     		do = 1122.73508139906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96142246--0.96103896) × cos(-1.09351795) × R
    0.000383499999999981 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 1122.35272453911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09334176)-sin(-1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459519895664419-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.96103896--0.96142246)×0.000156493359212084×R²
    0.000383499999999981×0.000156493359212084×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156493359212084×40589641000000     		ar = 1260062.81965297m²