Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56843 / 84109
↖ ↑ ↗
← S 45.361795°
W 23.876038°		 ← 214.60 m → S 45.361795°
W 23.873291°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.363725°
W 23.876038°		 ← 214.59 m →
46 047 m²		 S 45.363725°
W 23.873291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433681488037109 y=0.641704559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433681488037109 × 217)
    floor (0.433681488037109 × 131072)
    floor (56843.5)     		tx = 56843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641704559326172 × 217)
    floor (0.641704559326172 × 131072)
    floor (84109.5)     		ty = 84109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56843 / 84109 ti = "17/56843/84109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56843/84109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56843 ÷ 217
    56843 ÷ 131072     		x = 0.433677673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84109 ÷ 217
    84109 ÷ 131072     		y = 0.641700744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433677673339844 × 2 - 1) × π
    -0.132644653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41671547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641700744628906 × 2 - 1) × π
    -0.283401489257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.890332036643303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41671547} λ = -0.41671547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890332036643303))-π/2
    2×atan(0.410519422629199)-π/2
    2×0.389541823053572-π/2
    0.779083646107144-1.57079632675     		φ = -0.79171268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41671547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.876038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79171268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.361795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56843 KachelY 84109 -0.41671547 -0.79171268 -23.876038 -45.361795
    Oben rechts KachelX + 1 56844 KachelY 84109 -0.41666753 -0.79171268 -23.873291 -45.361795
    Unten links KachelX 56843 KachelY + 1 84110 -0.41671547 -0.79174636 -23.876038 -45.363725
    Unten rechts KachelX + 1 56844 KachelY + 1 84110 -0.41666753 -0.79174636 -23.873291 -45.363725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79171268--0.79174636) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79171268--0.79174636) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41671547--0.41666753) × cos(-0.79171268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702627676119504 × 6371000     		do = 214.600577923139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41671547--0.41666753) × cos(-0.79174636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.702603710457939 × 6371000     		du = 214.593258193221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79171268)-sin(-0.79174636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702627676119504-0.702603710457939)×R²
    abs(-0.41666753--0.41671547)×2.39656615652617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39656615652617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39656615652617e-05×40589641000000     		ar = 46047.1937838013m²