Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56836 / 85508
↖ ↑ ↗
← S 47.997274°
W 23.895264°		 ← 204.38 m → S 47.997274°
W 23.892517°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.999112°
W 23.895264°		 ← 204.37 m →
41 771 m²		 S 47.999112°
W 23.892517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433628082275391 y=0.652378082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433628082275391 × 217)
    floor (0.433628082275391 × 131072)
    floor (56836.5)     		tx = 56836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652378082275391 × 217)
    floor (0.652378082275391 × 131072)
    floor (85508.5)     		ty = 85508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56836 / 85508 ti = "17/56836/85508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56836/85508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56836 ÷ 217
    56836 ÷ 131072     		x = 0.433624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85508 ÷ 217
    85508 ÷ 131072     		y = 0.652374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.30474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.957395759211761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41705103} λ = -0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957395759211761))-π/2
    2×atan(0.383891330777341)-π/2
    2×0.366542932917196-π/2
    0.733085865834393-1.57079632675     		φ = -0.83771046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83771046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.997274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56836 KachelY 85508 -0.41705103 -0.83771046 -23.895264 -47.997274
    Oben rechts KachelX + 1 56837 KachelY 85508 -0.41700309 -0.83771046 -23.892517 -47.997274
    Unten links KachelX 56836 KachelY + 1 85509 -0.41705103 -0.83774254 -23.895264 -47.999112
    Unten rechts KachelX + 1 56837 KachelY + 1 85509 -0.41700309 -0.83774254 -23.892517 -47.999112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83771046--0.83774254) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83771046--0.83774254) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41705103--0.41700309) × cos(-0.83771046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		do = 204.380510086664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41705103--0.41700309) × cos(-0.83774254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66914212573466 × 6371000     		du = 204.373228917547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83771046)-sin(-0.83774254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669165965143599-0.66914212573466)×R²
    abs(-0.41700309--0.41705103)×2.38394089394633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38394089394633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38394089394633e-05×40589641000000     		ar = 41770.887945457m²