Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56833 / 85503
↖ ↑ ↗
← S 47.988084°
W 23.903504°		 ← 204.42 m → S 47.988084°
W 23.900757°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.989922°
W 23.903504°		 ← 204.41 m →
41 778 m²		 S 47.989922°
W 23.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433605194091797 y=0.652339935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433605194091797 × 217)
    floor (0.433605194091797 × 131072)
    floor (56833.5)     		tx = 56833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652339935302734 × 217)
    floor (0.652339935302734 × 131072)
    floor (85503.5)     		ty = 85503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56833 / 85503 ti = "17/56833/85503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56833/85503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56833 ÷ 217
    56833 ÷ 131072     		x = 0.433601379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85503 ÷ 217
    85503 ÷ 131072     		y = 0.652336120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433601379394531 × 2 - 1) × π
    -0.132797241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41719484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652336120605469 × 2 - 1) × π
    -0.304672241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.957156074713661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41719484} λ = -0.41719484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957156074713661))-π/2
    2×atan(0.383983354606185)-π/2
    2×0.366623134413257-π/2
    0.733246268826513-1.57079632675     		φ = -0.83755006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41719484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.903504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83755006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.988084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56833 KachelY 85503 -0.41719484 -0.83755006 -23.903504 -47.988084
    Oben rechts KachelX + 1 56834 KachelY 85503 -0.41714690 -0.83755006 -23.900757 -47.988084
    Unten links KachelX 56833 KachelY + 1 85504 -0.41719484 -0.83758214 -23.903504 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 56834 KachelY + 1 85504 -0.41714690 -0.83758214 -23.900757 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83755006--0.83758214) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83755006--0.83758214) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41719484--0.41714690) × cos(-0.83755006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66928515185796 × 6371000     		do = 204.416912777332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41719484--0.41714690) × cos(-0.83758214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 204.409632659958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83755006)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66928515185796-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.41714690--0.41719484)×2.38359654123332e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38359654123332e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38359654123332e-05×40589641000000     		ar = 41778.3280959898m²