Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56833 / 17922
↖ ↑ ↗
← N 78.348301°
W 23.903504°		 ← 61.68 m → N 78.348301°
W 23.900757°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.347747°
W 23.903504°		 ← 61.69 m →
3 804 m²		 N 78.347747°
W 23.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433605194091797 y=0.136737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433605194091797 × 217)
    floor (0.433605194091797 × 131072)
    floor (56833.5)     		tx = 56833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136737823486328 × 217)
    floor (0.136737823486328 × 131072)
    floor (17922.5)     		ty = 17922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56833 / 17922 ti = "17/56833/17922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56833/17922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56833 ÷ 217
    56833 ÷ 131072     		x = 0.433601379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17922 ÷ 217
    17922 ÷ 131072     		y = 0.136734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433601379394531 × 2 - 1) × π
    -0.132797241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41719484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136734008789062 × 2 - 1) × π
    0.726531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28246753850935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41719484} λ = -0.41719484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28246753850935))-π/2
    2×atan(9.80083453329264)-π/2
    2×1.46911607419675-π/2
    2.9382321483935-1.57079632675     		φ = 1.36743582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41719484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.903504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36743582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.348301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56833 KachelY 17922 -0.41719484 1.36743582 -23.903504 78.348301
    Oben rechts KachelX + 1 56834 KachelY 17922 -0.41714690 1.36743582 -23.900757 78.348301
    Unten links KachelX 56833 KachelY + 1 17923 -0.41719484 1.36742614 -23.903504 78.347747
    Unten rechts KachelX + 1 56834 KachelY + 1 17923 -0.41714690 1.36742614 -23.900757 78.347747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36743582-1.36742614) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36743582-1.36742614) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41719484--0.41714690) × cos(1.36743582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201961723204485 × 6371000     		do = 61.684308761436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41719484--0.41714690) × cos(1.36742614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201971203723285 × 6371000     		du = 61.6872043559061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36743582)-sin(1.36742614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201961723204485-0.201971203723285)×R²
    abs(-0.41714690--0.41719484)×9.48051879992584e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.48051879992584e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.48051879992584e-06×40589641000000     		ar = 3804.23956482729m²