Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56831 / 85502
↖ ↑ ↗
← S 47.986245°
W 23.908997°		 ← 204.42 m → S 47.986245°
W 23.906250°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
S 47.988084°
W 23.908997°		 ← 204.42 m →
41 793 m²		 S 47.988084°
W 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433589935302734 y=0.652332305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433589935302734 × 217)
    floor (0.433589935302734 × 131072)
    floor (56831.5)     		tx = 56831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652332305908203 × 217)
    floor (0.652332305908203 × 131072)
    floor (85502.5)     		ty = 85502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56831 / 85502 ti = "17/56831/85502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56831/85502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56831 ÷ 217
    56831 ÷ 131072     		x = 0.433586120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85502 ÷ 217
    85502 ÷ 131072     		y = 0.652328491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433586120605469 × 2 - 1) × π
    -0.132827758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41729071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652328491210938 × 2 - 1) × π
    -0.304656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957108137814041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41729071} λ = -0.41729071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957108137814041))-π/2
    2×atan(0.384001762018904)-π/2
    2×0.366639176426547-π/2
    0.733278352853093-1.57079632675     		φ = -0.83751797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41729071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.908997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83751797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.986245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56831 KachelY 85502 -0.41729071 -0.83751797 -23.908997 -47.986245
    Oben rechts KachelX + 1 56832 KachelY 85502 -0.41724277 -0.83751797 -23.906250 -47.986245
    Unten links KachelX 56831 KachelY + 1 85503 -0.41729071 -0.83755006 -23.908997 -47.988084
    Unten rechts KachelX + 1 56832 KachelY + 1 85503 -0.41724277 -0.83755006 -23.906250 -47.988084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83751797--0.83755006) × R
    3.20900000000401e-05 × 6371000     		dl = 204.445390000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83751797--0.83755006) × R
    3.20900000000401e-05 × 6371000     		dr = 204.445390000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41729071--0.41724277) × cos(-0.83751797) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669308994564435 × 6371000     		do = 204.424194953601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41729071--0.41724277) × cos(-0.83755006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66928515185796 × 6371000     		du = 204.416912777332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83751797)-sin(-0.83755006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669308994564435-0.66928515185796)×R²
    abs(-0.41724277--0.41729071)×2.38427064749303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38427064749303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38427064749303e-05×40589641000000     		ar = 41792.8398627538m²