Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56830 / 9700
↖ ↑ ↗
← N 77.499364°
E132.176514°		 ← 132.21 m → N 77.499364°
E132.182007°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 77.498175°
E132.176514°		 ← 132.22 m →
17 478 m²		 N 77.498175°
E132.182007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867164611816406 y=0.148017883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867164611816406 × 216)
    floor (0.867164611816406 × 65536)
    floor (56830.5)     		tx = 56830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148017883300781 × 216)
    floor (0.148017883300781 × 65536)
    floor (9700.5)     		ty = 9700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56830 / 9700 ti = "16/56830/9700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56830/9700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56830 ÷ 216
    56830 ÷ 65536     		x = 0.867156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9700 ÷ 216
    9700 ÷ 65536     		y = 0.14801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867156982421875 × 2 - 1) × π
    0.73431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30691536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14801025390625 × 2 - 1) × π
    0.7039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21161680087091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30691536} λ = 2.30691536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21161680087091))-π/2
    2×atan(9.13046661211393)-π/2
    2×1.46170769907763-π/2
    2.92341539815526-1.57079632675     		φ = 1.35261907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30691536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.176514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35261907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.499364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56830 KachelY 9700 2.30691536 1.35261907 132.176514 77.499364
    Oben rechts KachelX + 1 56831 KachelY 9700 2.30701123 1.35261907 132.182007 77.499364
    Unten links KachelX 56830 KachelY + 1 9701 2.30691536 1.35259832 132.176514 77.498175
    Unten rechts KachelX + 1 56831 KachelY + 1 9701 2.30701123 1.35259832 132.182007 77.498175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35261907-1.35259832) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35261907-1.35259832) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30691536-2.30701123) × cos(1.35261907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216450451099046 × 6371000     		do = 132.205288342277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30691536-2.30701123) × cos(1.35259832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21647070914474 × 6371000     		du = 132.217661708832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35261907)-sin(1.35259832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216450451099046-0.21647070914474)×R²
    abs(2.30701123-2.30691536)×2.02580456945545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02580456945545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02580456945545e-05×40589641000000     		ar = 17478.1256287029m²