Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5683 / 11876
↖ ↑ ↗
← S 62.633769°
W 55.129395°		 ← 1 123.12 m → S 62.633769°
W 55.107422°		 →
↑
1 122.95 m
↓
↑
1 122.95 m
↓
S 62.643868°
W 55.129395°		 ← 1 122.74 m →
1 260 993 m²		 S 62.643868°
W 55.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346893310546875 y=0.724884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346893310546875 × 214)
    floor (0.346893310546875 × 16384)
    floor (5683.5)     		tx = 5683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724884033203125 × 214)
    floor (0.724884033203125 × 16384)
    floor (11876.5)     		ty = 11876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5683 / 11876 ti = "14/5683/11876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5683/11876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5683 ÷ 214
    5683 ÷ 16384     		x = 0.34686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11876 ÷ 214
    11876 ÷ 16384     		y = 0.724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.3062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96218945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41279630560229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96218945} λ = -0.96218945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41279630560229))-π/2
    2×atan(0.243461537551748)-π/2
    2×0.238815412110301-π/2
    0.477630824220602-1.57079632675     		φ = -1.09316550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96218945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09316550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.633769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5683 KachelY 11876 -0.96218945 -1.09316550 -55.129395 -62.633769
    Oben rechts KachelX + 1 5684 KachelY 11876 -0.96180595 -1.09316550 -55.107422 -62.633769
    Unten links KachelX 5683 KachelY + 1 11877 -0.96218945 -1.09334176 -55.129395 -62.643868
    Unten rechts KachelX + 1 5684 KachelY + 1 11877 -0.96180595 -1.09334176 -55.107422 -62.643868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09316550--1.09334176) × R
    0.000176259999999928 × 6371000     		dl = 1122.95245999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09316550--1.09334176) × R
    0.000176259999999928 × 6371000     		dr = 1122.95245999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96218945--0.96180595) × cos(-1.09316550) × R
    0.000383499999999981 × 0.459676436924847 × 6371000     		do = 1123.11755529503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96218945--0.96180595) × cos(-1.09334176) × R
    0.000383499999999981 × 0.459519895664419 × 6371000     		du = 1122.73508139906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09316550)-sin(-1.09334176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459676436924847-0.459519895664419)×R²
    abs(-0.96180595--0.96218945)×0.000156541260428189×R²
    0.000383499999999981×0.000156541260428189×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156541260428189×40589641000000     		ar = 1260992.87485213m²