Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56827 / 83990
↖ ↑ ↗
← S 45.131680°
W 23.919983°		 ← 215.47 m → S 45.131680°
W 23.917236°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.133618°
W 23.919983°		 ← 215.46 m →
46 426 m²		 S 45.133618°
W 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433559417724609 y=0.640796661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433559417724609 × 217)
    floor (0.433559417724609 × 131072)
    floor (56827.5)     		tx = 56827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640796661376953 × 217)
    floor (0.640796661376953 × 131072)
    floor (83990.5)     		ty = 83990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56827 / 83990 ti = "17/56827/83990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56827/83990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56827 ÷ 217
    56827 ÷ 131072     		x = 0.433555603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83990 ÷ 217
    83990 ÷ 131072     		y = 0.640792846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433555603027344 × 2 - 1) × π
    -0.132888793945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41748246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640792846679688 × 2 - 1) × π
    -0.281585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.884627545588516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41748246} λ = -0.41748246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884627545588516))-π/2
    2×atan(0.412867919123451)-π/2
    2×0.391549957142277-π/2
    0.783099914284555-1.57079632675     		φ = -0.78769641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41748246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.919983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78769641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.131680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56827 KachelY 83990 -0.41748246 -0.78769641 -23.919983 -45.131680
    Oben rechts KachelX + 1 56828 KachelY 83990 -0.41743452 -0.78769641 -23.917236 -45.131680
    Unten links KachelX 56827 KachelY + 1 83991 -0.41748246 -0.78773023 -23.919983 -45.133618
    Unten rechts KachelX + 1 56828 KachelY + 1 83991 -0.41743452 -0.78773023 -23.917236 -45.133618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78769641--0.78773023) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78769641--0.78773023) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41748246--0.41743452) × cos(-0.78769641) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705479809413591 × 6371000     		do = 215.471692845313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41748246--0.41743452) × cos(-0.78773023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705455839760923 × 6371000     		du = 215.46437189641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78769641)-sin(-0.78773023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705479809413591-0.705455839760923)×R²
    abs(-0.41743452--0.41748246)×2.39696526675992e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39696526675992e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39696526675992e-05×40589641000000     		ar = 46426.2979381508m²