Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56826 / 17906
↖ ↑ ↗
← N 78.357173°
W 23.922730°		 ← 61.64 m → N 78.357173°
W 23.919983°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.356619°
W 23.922730°		 ← 61.64 m →
3 801 m²		 N 78.356619°
W 23.919983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433551788330078 y=0.136615753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433551788330078 × 217)
    floor (0.433551788330078 × 131072)
    floor (56826.5)     		tx = 56826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136615753173828 × 217)
    floor (0.136615753173828 × 131072)
    floor (17906.5)     		ty = 17906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56826 / 17906 ti = "17/56826/17906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56826/17906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56826 ÷ 217
    56826 ÷ 131072     		x = 0.433547973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17906 ÷ 217
    17906 ÷ 131072     		y = 0.136611938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433547973632812 × 2 - 1) × π
    -0.132904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41753040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136611938476562 × 2 - 1) × π
    0.726776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28323452890327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41753040} λ = -0.41753040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28323452890327))-π/2
    2×atan(9.80835456275861)-π/2
    2×1.46919349646378-π/2
    2.93838699292757-1.57079632675     		φ = 1.36759067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41753040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.922730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36759067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.357173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56826 KachelY 17906 -0.41753040 1.36759067 -23.922730 78.357173
    Oben rechts KachelX + 1 56827 KachelY 17906 -0.41748246 1.36759067 -23.919983 78.357173
    Unten links KachelX 56826 KachelY + 1 17907 -0.41753040 1.36758099 -23.922730 78.356619
    Unten rechts KachelX + 1 56827 KachelY + 1 17907 -0.41748246 1.36758099 -23.919983 78.356619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36759067-1.36758099) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36759067-1.36758099) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41753040--0.41748246) × cos(1.36759067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201810061713326 × 6371000     		do = 61.6379874382693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41753040--0.41748246) × cos(1.36758099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.20181954253475 × 6371000     		du = 61.6408831251684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36759067)-sin(1.36758099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201810061713326-0.20181954253475)×R²
    abs(-0.41748246--0.41753040)×9.48082142349094e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.48082142349094e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.48082142349094e-06×40589641000000     		ar = 3801.38287239119m²