Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56825 / 83989
↖ ↑ ↗
← S 45.129742°
W 23.925476°		 ← 215.43 m → S 45.129742°
W 23.922730°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.131680°
W 23.925476°		 ← 215.43 m →
46 418 m²		 S 45.131680°
W 23.922730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433544158935547 y=0.640789031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433544158935547 × 217)
    floor (0.433544158935547 × 131072)
    floor (56825.5)     		tx = 56825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640789031982422 × 217)
    floor (0.640789031982422 × 131072)
    floor (83989.5)     		ty = 83989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56825 / 83989 ti = "17/56825/83989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56825/83989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56825 ÷ 217
    56825 ÷ 131072     		x = 0.433540344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83989 ÷ 217
    83989 ÷ 131072     		y = 0.640785217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433540344238281 × 2 - 1) × π
    -0.132919311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.41757833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640785217285156 × 2 - 1) × π
    -0.281570434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.884579608688896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41757833} λ = -0.41757833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884579608688896))-π/2
    2×atan(0.412887711205828)-π/2
    2×0.391566866686879-π/2
    0.783133733373758-1.57079632675     		φ = -0.78766259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41757833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.925476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78766259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.129742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56825 KachelY 83989 -0.41757833 -0.78766259 -23.925476 -45.129742
    Oben rechts KachelX + 1 56826 KachelY 83989 -0.41753040 -0.78766259 -23.922730 -45.129742
    Unten links KachelX 56825 KachelY + 1 83990 -0.41757833 -0.78769641 -23.925476 -45.131680
    Unten rechts KachelX + 1 56826 KachelY + 1 83990 -0.41753040 -0.78769641 -23.922730 -45.131680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78766259--0.78769641) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78766259--0.78769641) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41757833--0.41753040) × cos(-0.78766259) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.705503778259336 × 6371000     		do = 215.434065901823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41757833--0.41753040) × cos(-0.78769641) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.705479809413591 × 6371000     		du = 215.42674672643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78766259)-sin(-0.78769641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705503778259336-0.705479809413591)×R²
    abs(-0.41753040--0.41757833)×2.39688457452925e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39688457452925e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39688457452925e-05×40589641000000     		ar = 46418.1907565049m²