Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56821 / 9678
↖ ↑ ↗
← N 77.525495°
E132.127075°		 ← 131.95 m → N 77.525495°
E132.132569°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 77.524308°
E132.127075°		 ← 131.96 m →
17 410 m²		 N 77.524308°
E132.132569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867027282714844 y=0.147682189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867027282714844 × 216)
    floor (0.867027282714844 × 65536)
    floor (56821.5)     		tx = 56821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147682189941406 × 216)
    floor (0.147682189941406 × 65536)
    floor (9678.5)     		ty = 9678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56821 / 9678 ti = "16/56821/9678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56821/9678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56821 ÷ 216
    56821 ÷ 65536     		x = 0.867019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9678 ÷ 216
    9678 ÷ 65536     		y = 0.147674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867019653320312 × 2 - 1) × π
    0.734039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30605249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147674560546875 × 2 - 1) × π
    0.70465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21372602445419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30605249} λ = 2.30605249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21372602445419))-π/2
    2×atan(9.14974513182556)-π/2
    2×1.46193573539712-π/2
    2.92387147079424-1.57079632675     		φ = 1.35307514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30605249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.127075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35307514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.525495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56821 KachelY 9678 2.30605249 1.35307514 132.127075 77.525495
    Oben rechts KachelX + 1 56822 KachelY 9678 2.30614837 1.35307514 132.132569 77.525495
    Unten links KachelX 56821 KachelY + 1 9679 2.30605249 1.35305443 132.127075 77.524308
    Unten rechts KachelX + 1 56822 KachelY + 1 9679 2.30614837 1.35305443 132.132569 77.524308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35307514-1.35305443) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35307514-1.35305443) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30605249-2.30614837) × cos(1.35307514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21600517037944 × 6371000     		do = 131.947078013846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30605249-2.30614837) × cos(1.35305443) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216025391415982 × 6371000     		du = 131.959430063945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35307514)-sin(1.35305443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21600517037944-0.216025391415982)×R²
    abs(2.30614837-2.30605249)×2.02210365424227e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02210365424227e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02210365424227e-05×40589641000000     		ar = 17410.3622989022m²