Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56820 / 85511
↖ ↑ ↗
← S 48.002787°
W 23.939209°		 ← 204.36 m → S 48.002787°
W 23.936462°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
S 48.004625°
W 23.939209°		 ← 204.35 m →
41 753 m²		 S 48.004625°
W 23.936462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433506011962891 y=0.652400970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433506011962891 × 217)
    floor (0.433506011962891 × 131072)
    floor (56820.5)     		tx = 56820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652400970458984 × 217)
    floor (0.652400970458984 × 131072)
    floor (85511.5)     		ty = 85511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56820 / 85511 ti = "17/56820/85511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56820/85511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56820 ÷ 217
    56820 ÷ 131072     		x = 0.433502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85511 ÷ 217
    85511 ÷ 131072     		y = 0.652397155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652397155761719 × 2 - 1) × π
    -0.304794311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.957539569910622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41781802} λ = -0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957539569910622))-π/2
    2×atan(0.383836127066312)-π/2
    2×0.366494818875733-π/2
    0.732989637751467-1.57079632675     		φ = -0.83780669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83780669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.002787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56820 KachelY 85511 -0.41781802 -0.83780669 -23.939209 -48.002787
    Oben rechts KachelX + 1 56821 KachelY 85511 -0.41777008 -0.83780669 -23.936462 -48.002787
    Unten links KachelX 56820 KachelY + 1 85512 -0.41781802 -0.83783876 -23.939209 -48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 56821 KachelY + 1 85512 -0.41777008 -0.83783876 -23.936462 -48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83780669--0.83783876) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83780669--0.83783876) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41781802--0.41777008) × cos(-0.83780669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669094452282684 × 6371000     		do = 204.358668218436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41781802--0.41777008) × cos(-0.83783876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 204.35138868835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83780669)-sin(-0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669094452282684-0.669070618240126)×R²
    abs(-0.41777008--0.41781802)×2.38340425582351e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38340425582351e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38340425582351e-05×40589641000000     		ar = 41753.40457638m²