Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56820 / 84365
↖ ↑ ↗
← S 45.853674°
W 23.939209°		 ← 212.73 m → S 45.853674°
W 23.936462°		 →
↑
212.66 m
↓
↑
212.66 m
↓
S 45.855586°
W 23.939209°		 ← 212.72 m →
45 239 m²		 S 45.855586°
W 23.936462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433506011962891 y=0.643657684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433506011962891 × 217)
    floor (0.433506011962891 × 131072)
    floor (56820.5)     		tx = 56820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643657684326172 × 217)
    floor (0.643657684326172 × 131072)
    floor (84365.5)     		ty = 84365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56820 / 84365 ti = "17/56820/84365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56820/84365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56820 ÷ 217
    56820 ÷ 131072     		x = 0.433502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84365 ÷ 217
    84365 ÷ 131072     		y = 0.643653869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643653869628906 × 2 - 1) × π
    -0.287307739257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.902603882946037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41781802} λ = -0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902603882946037))-π/2
    2×atan(0.405512377054785)-π/2
    2×0.385249375079541-π/2
    0.770498750159081-1.57079632675     		φ = -0.80029758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80029758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.853674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56820 KachelY 84365 -0.41781802 -0.80029758 -23.939209 -45.853674
    Oben rechts KachelX + 1 56821 KachelY 84365 -0.41777008 -0.80029758 -23.936462 -45.853674
    Unten links KachelX 56820 KachelY + 1 84366 -0.41781802 -0.80033096 -23.939209 -45.855586
    Unten rechts KachelX + 1 56821 KachelY + 1 84366 -0.41777008 -0.80033096 -23.936462 -45.855586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80029758--0.80033096) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dl = 212.663980000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80029758--0.80033096) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dr = 212.663980000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41781802--0.41777008) × cos(-0.80029758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.696493207676753 × 6371000     		do = 212.726953359753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41781802--0.41777008) × cos(-0.80033096) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.696469255022938 × 6371000     		du = 212.719637602736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80029758)-sin(-0.80033096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696493207676753-0.696469255022938)×R²
    abs(-0.41777008--0.41781802)×2.39526538157175e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39526538157175e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39526538157175e-05×40589641000000     		ar = 45238.5826600454m²