Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5682 / 11919
↖ ↑ ↗
← S 63.064914°
W 55.151367°		 ← 1 106.73 m → S 63.064914°
W 55.129395°		 →
↑
1 106.52 m
↓
↑
1 106.52 m
↓
S 63.074866°
W 55.151367°		 ← 1 106.35 m →
1 224 403 m²		 S 63.074866°
W 55.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346832275390625 y=0.727508544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346832275390625 × 214)
    floor (0.346832275390625 × 16384)
    floor (5682.5)     		tx = 5682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727508544921875 × 214)
    floor (0.727508544921875 × 16384)
    floor (11919.5)     		ty = 11919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5682 / 11919 ti = "14/5682/11919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5682/11919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5682 ÷ 214
    5682 ÷ 16384     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11919 ÷ 214
    11919 ÷ 16384     		y = 0.72747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42928659907159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42928659907159))-π/2
    2×atan(0.23947970636259)-π/2
    2×0.235052965749638-π/2
    0.470105931499276-1.57079632675     		φ = -1.10069040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10069040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.064914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5682 KachelY 11919 -0.96257294 -1.10069040 -55.151367 -63.064914
    Oben rechts KachelX + 1 5683 KachelY 11919 -0.96218945 -1.10069040 -55.129395 -63.064914
    Unten links KachelX 5682 KachelY + 1 11920 -0.96257294 -1.10086408 -55.151367 -63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 5683 KachelY + 1 11920 -0.96218945 -1.10086408 -55.129395 -63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10069040--1.10086408) × R
    0.000173680000000065 × 6371000     		dl = 1106.51528000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10069040--1.10086408) × R
    0.000173680000000065 × 6371000     		dr = 1106.51528000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96218945) × cos(-1.10069040) × R
    0.000383490000000042 × 0.45298072380929 × 6371000     		do = 1106.72920399588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96218945) × cos(-1.10086408) × R
    0.000383490000000042 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 1106.35088176609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10069040)-sin(-1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45298072380929-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.96218945--0.96257294)×0.000154846078755433×R²
    0.000383490000000042×0.000154846078755433×6371000²
    0.000383490000000042×0.000154846078755433×40589641000000     		ar = 1224403.46845713m²