Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56819 / 18031
↖ ↑ ↗
← N 78.287683°
W 23.941955°		 ← 61.99 m → N 78.287683°
W 23.939209°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.287126°
W 23.941955°		 ← 61.99 m →
3 843 m²		 N 78.287126°
W 23.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433498382568359 y=0.137569427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433498382568359 × 217)
    floor (0.433498382568359 × 131072)
    floor (56819.5)     		tx = 56819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137569427490234 × 217)
    floor (0.137569427490234 × 131072)
    floor (18031.5)     		ty = 18031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56819 / 18031 ti = "17/56819/18031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56819/18031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56819 ÷ 217
    56819 ÷ 131072     		x = 0.433494567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18031 ÷ 217
    18031 ÷ 131072     		y = 0.137565612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433494567871094 × 2 - 1) × π
    -0.133010864257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.41786595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137565612792969 × 2 - 1) × π
    0.724868774414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.27724241645077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41786595} λ = -0.41786595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27724241645077))-π/2
    2×atan(9.74975753456476)-π/2
    2×1.46858708458716-π/2
    2.93717416917433-1.57079632675     		φ = 1.36637784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41786595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.941955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36637784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.287683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56819 KachelY 18031 -0.41786595 1.36637784 -23.941955 78.287683
    Oben rechts KachelX + 1 56820 KachelY 18031 -0.41781802 1.36637784 -23.939209 78.287683
    Unten links KachelX 56819 KachelY + 1 18032 -0.41786595 1.36636811 -23.941955 78.287126
    Unten rechts KachelX + 1 56820 KachelY + 1 18032 -0.41781802 1.36636811 -23.939209 78.287126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36637784-1.36636811) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36637784-1.36636811) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41786595--0.41781802) × cos(1.36637784) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.202997788626875 × 6371000     		do = 61.9878168205796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41786595--0.41781802) × cos(1.36636811) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.203007316030842 × 6371000     		du = 61.9907261279957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36637784)-sin(1.36636811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202997788626875-0.203007316030842)×R²
    abs(-0.41781802--0.41786595)×9.52740396731322e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.52740396731322e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.52740396731322e-06×40589641000000     		ar = 3842.70440047229m²