Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56815 / 86899
↖ ↑ ↗
← S 50.490716°
W 23.952942°		 ← 194.31 m → S 50.490716°
W 23.950195°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
S 50.492463°
W 23.952942°		 ← 194.31 m →
37 745 m²		 S 50.492463°
W 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433467864990234 y=0.662990570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433467864990234 × 217)
    floor (0.433467864990234 × 131072)
    floor (56815.5)     		tx = 56815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662990570068359 × 217)
    floor (0.662990570068359 × 131072)
    floor (86899.5)     		ty = 86899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56815 / 86899 ti = "17/56815/86899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56815/86899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56815 ÷ 217
    56815 ÷ 131072     		x = 0.433464050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86899 ÷ 217
    86899 ÷ 131072     		y = 0.662986755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433464050292969 × 2 - 1) × π
    -0.133071899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41805770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662986755371094 × 2 - 1) × π
    -0.325973510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.02407598658326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41805770} λ = -0.41805770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02407598658326))-π/2
    2×atan(0.359128151371407)-π/2
    2×0.344783545551135-π/2
    0.68956709110227-1.57079632675     		φ = -0.88122924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41805770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.952942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88122924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.490716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56815 KachelY 86899 -0.41805770 -0.88122924 -23.952942 -50.490716
    Oben rechts KachelX + 1 56816 KachelY 86899 -0.41800976 -0.88122924 -23.950195 -50.490716
    Unten links KachelX 56815 KachelY + 1 86900 -0.41805770 -0.88125973 -23.952942 -50.492463
    Unten rechts KachelX + 1 56816 KachelY + 1 86900 -0.41800976 -0.88125973 -23.950195 -50.492463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88122924--0.88125973) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88122924--0.88125973) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41805770--0.41800976) × cos(-0.88122924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636203240000182 × 6371000     		do = 194.312845367326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41805770--0.41800976) × cos(-0.88125973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636179716013685 × 6371000     		du = 194.305660536342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88122924)-sin(-0.88125973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636203240000182-0.636179716013685)×R²
    abs(-0.41800976--0.41805770)×2.35239864974091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35239864974091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35239864974091e-05×40589641000000     		ar = 37744.9202023684m²