Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56813 / 9054
↖ ↑ ↗
← N 78.244674°
E132.083130°		 ← 124.45 m → N 78.244674°
E132.088623°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
N 78.243555°
E132.083130°		 ← 124.46 m →
15 486 m²		 N 78.243555°
E132.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866905212402344 y=0.138160705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866905212402344 × 216)
    floor (0.866905212402344 × 65536)
    floor (56813.5)     		tx = 56813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138160705566406 × 216)
    floor (0.138160705566406 × 65536)
    floor (9054.5)     		ty = 9054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56813 / 9054 ti = "16/56813/9054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56813/9054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56813 ÷ 216
    56813 ÷ 65536     		x = 0.866897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9054 ÷ 216
    9054 ÷ 65536     		y = 0.138153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866897583007812 × 2 - 1) × π
    0.733795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30528550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138153076171875 × 2 - 1) × π
    0.72369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27355127518002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30528550} λ = 2.30528550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27355127518002))-π/2
    2×atan(9.71383613840742)-π/2
    2×1.46821176001176-π/2
    2.93642352002352-1.57079632675     		φ = 1.36562719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30528550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.083130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36562719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.244674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56813 KachelY 9054 2.30528550 1.36562719 132.083130 78.244674
    Oben rechts KachelX + 1 56814 KachelY 9054 2.30538138 1.36562719 132.088623 78.244674
    Unten links KachelX 56813 KachelY + 1 9055 2.30528550 1.36560766 132.083130 78.243555
    Unten rechts KachelX + 1 56814 KachelY + 1 9055 2.30538138 1.36560766 132.088623 78.243555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36562719-1.36560766) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dl = 124.425630000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36562719-1.36560766) × R
    1.95300000001009e-05 × 6371000     		dr = 124.425630000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30528550-2.30538138) × cos(1.36562719) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203732752229169 × 6371000     		do = 124.45045322358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30528550-2.30538138) × cos(1.36560766) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.203751872578637 × 6371000     		du = 124.46213291735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36562719)-sin(1.36560766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203732752229169-0.203751872578637)×R²
    abs(2.30538138-2.30528550)×1.91203494675773e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91203494675773e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91203494675773e-05×40589641000000     		ar = 15485.5526732825m²