Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56812 / 44699
↖ ↑ ↗
← N 49.562633°
W 23.961182°		 ← 198.06 m → N 49.562633°
W 23.958435°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 49.560852°
W 23.961182°		 ← 198.07 m →
39 232 m²		 N 49.560852°
W 23.958435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433444976806641 y=0.341030120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433444976806641 × 217)
    floor (0.433444976806641 × 131072)
    floor (56812.5)     		tx = 56812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341030120849609 × 217)
    floor (0.341030120849609 × 131072)
    floor (44699.5)     		ty = 44699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56812 / 44699 ti = "17/56812/44699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56812/44699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56812 ÷ 217
    56812 ÷ 131072     		x = 0.433441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44699 ÷ 217
    44699 ÷ 131072     		y = 0.341026306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.13311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41820151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341026306152344 × 2 - 1) × π
    0.317947387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.99886117738311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41820151} λ = -0.41820151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99886117738311))-π/2
    2×atan(2.71518794965767)-π/2
    2×1.21791373554788-π/2
    2.43582747109576-1.57079632675     		φ = 0.86503114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41820151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86503114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.562633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56812 KachelY 44699 -0.41820151 0.86503114 -23.961182 49.562633
    Oben rechts KachelX + 1 56813 KachelY 44699 -0.41815358 0.86503114 -23.958435 49.562633
    Unten links KachelX 56812 KachelY + 1 44700 -0.41820151 0.86500005 -23.961182 49.560852
    Unten rechts KachelX + 1 56813 KachelY + 1 44700 -0.41815358 0.86500005 -23.958435 49.560852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86503114-0.86500005) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86503114-0.86500005) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41820151--0.41815358) × cos(0.86503114) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648616414865582 × 6371000     		do = 198.062825134568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41820151--0.41815358) × cos(0.86500005) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648640077631817 × 6371000     		du = 198.070050844901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86503114)-sin(0.86500005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648616414865582-0.648640077631817)×R²
    abs(-0.41815358--0.41820151)×2.36627662347777e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36627662347777e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36627662347777e-05×40589641000000     		ar = 39231.8888873713m²