Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5681 / 11884
↖ ↑ ↗
← S 62.714462°
W 55.173340°		 ← 1 120.06 m → S 62.714462°
W 55.151367°		 →
↑
1 119.89 m
↓
↑
1 119.89 m
↓
S 62.724533°
W 55.173340°		 ← 1 119.68 m →
1 254 136 m²		 S 62.724533°
W 55.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346771240234375 y=0.725372314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346771240234375 × 214)
    floor (0.346771240234375 × 16384)
    floor (5681.5)     		tx = 5681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725372314453125 × 214)
    floor (0.725372314453125 × 16384)
    floor (11884.5)     		ty = 11884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5681 / 11884 ti = "14/5681/11884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5681/11884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5681 ÷ 214
    5681 ÷ 16384     		x = 0.34674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11884 ÷ 214
    11884 ÷ 16384     		y = 0.725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.3065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96295644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96295644} λ = -0.96295644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41586426717798))-π/2
    2×atan(0.242715751515802)-π/2
    2×0.238111237262555-π/2
    0.476222474525111-1.57079632675     		φ = -1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96295644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5681 KachelY 11884 -0.96295644 -1.09457385 -55.173340 -62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 5682 KachelY 11884 -0.96257294 -1.09457385 -55.151367 -62.714462
    Unten links KachelX 5681 KachelY + 1 11885 -0.96295644 -1.09474963 -55.173340 -62.724533
    Unten rechts KachelX + 1 5682 KachelY + 1 11885 -0.96257294 -1.09474963 -55.151367 -62.724533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09457385--1.09474963) × R
    0.000175779999999959 × 6371000     		dl = 1119.89437999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09457385--1.09474963) × R
    0.000175779999999959 × 6371000     		dr = 1119.89437999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96295644--0.96257294) × cos(-1.09457385) × R
    0.000383499999999981 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 1120.06054469609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96295644--0.96257294) × cos(-1.09474963) × R
    0.000383499999999981 × 0.458269016326365 × 6371000     		du = 1119.6788348063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09457385)-sin(-1.09474963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.458269016326365)×R²
    abs(-0.96257294--0.96295644)×0.000156228563298222×R²
    0.000383499999999981×0.000156228563298222×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156228563298222×40589641000000     		ar = 1254135.77511414m²