Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56806 / 9124
↖ ↑ ↗
← N 78.166077°
E132.044678°		 ← 125.26 m → N 78.166077°
E132.050171°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
N 78.164951°
E132.044678°		 ← 125.27 m →
15 690 m²		 N 78.164951°
E132.050171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866798400878906 y=0.139228820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866798400878906 × 216)
    floor (0.866798400878906 × 65536)
    floor (56806.5)     		tx = 56806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139228820800781 × 216)
    floor (0.139228820800781 × 65536)
    floor (9124.5)     		ty = 9124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56806 / 9124 ti = "16/56806/9124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56806/9124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56806 ÷ 216
    56806 ÷ 65536     		x = 0.866790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9124 ÷ 216
    9124 ÷ 65536     		y = 0.13922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866790771484375 × 2 - 1) × π
    0.73358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30461439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13922119140625 × 2 - 1) × π
    0.7215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26684010923322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30461439} λ = 2.30461439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26684010923322))-π/2
    2×atan(9.64886323792448)-π/2
    2×1.46752586725126-π/2
    2.93505173450251-1.57079632675     		φ = 1.36425541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30461439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.044678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36425541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.166077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56806 KachelY 9124 2.30461439 1.36425541 132.044678 78.166077
    Oben rechts KachelX + 1 56807 KachelY 9124 2.30471026 1.36425541 132.050171 78.166077
    Unten links KachelX 56806 KachelY + 1 9125 2.30461439 1.36423575 132.044678 78.164951
    Unten rechts KachelX + 1 56807 KachelY + 1 9125 2.30471026 1.36423575 132.050171 78.164951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36425541-1.36423575) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36425541-1.36423575) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30461439-2.30471026) × cos(1.36425541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205075569144637 × 6371000     		do = 125.257649559331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30461439-2.30471026) × cos(1.36423575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20509481125416 × 6371000     		du = 125.269402404496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36425541)-sin(1.36423575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205075569144637-0.20509481125416)×R²
    abs(2.30471026-2.30461439)×1.92421095226436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92421095226436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92421095226436e-05×40589641000000     		ar = 15689.7401469379m²