Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56806 / 44695
↖ ↑ ↗
← N 49.569759°
W 23.977661°		 ← 198.03 m → N 49.569759°
W 23.974915°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 49.567978°
W 23.977661°		 ← 198.04 m →
39 226 m²		 N 49.567978°
W 23.974915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433399200439453 y=0.340999603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433399200439453 × 217)
    floor (0.433399200439453 × 131072)
    floor (56806.5)     		tx = 56806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340999603271484 × 217)
    floor (0.340999603271484 × 131072)
    floor (44695.5)     		ty = 44695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56806 / 44695 ti = "17/56806/44695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56806/44695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56806 ÷ 217
    56806 ÷ 131072     		x = 0.433395385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44695 ÷ 217
    44695 ÷ 131072     		y = 0.340995788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433395385742188 × 2 - 1) × π
    -0.133209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41848913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340995788574219 × 2 - 1) × π
    0.318008422851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.99905292498159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41848913} λ = -0.41848913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99905292498159))-π/2
    2×atan(2.71570863034448)-π/2
    2×1.21797591632984-π/2
    2.43595183265968-1.57079632675     		φ = 0.86515551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41848913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.977661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86515551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.569759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56806 KachelY 44695 -0.41848913 0.86515551 -23.977661 49.569759
    Oben rechts KachelX + 1 56807 KachelY 44695 -0.41844120 0.86515551 -23.974915 49.569759
    Unten links KachelX 56806 KachelY + 1 44696 -0.41848913 0.86512442 -23.977661 49.567978
    Unten rechts KachelX + 1 56807 KachelY + 1 44696 -0.41844120 0.86512442 -23.974915 49.567978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86515551-0.86512442) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86515551-0.86512442) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41848913--0.41844120) × cos(0.86515551) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648521749919462 × 6371000     		do = 198.033918054451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41848913--0.41844120) × cos(0.86512442) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.648545415193541 × 6371000     		du = 198.041144530584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86515551)-sin(0.86512442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648521749919462-0.648545415193541)×R²
    abs(-0.41844120--0.41848913)×2.36652740787102e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36652740787102e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36652740787102e-05×40589641000000     		ar = 39226.1632109097m²