Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56805 / 9131
↖ ↑ ↗
← N 78.158189°
E132.039184°		 ← 125.35 m → N 78.158189°
E132.044678°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
N 78.157062°
E132.039184°		 ← 125.36 m →
15 710 m²		 N 78.157062°
E132.044678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866783142089844 y=0.139335632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866783142089844 × 216)
    floor (0.866783142089844 × 65536)
    floor (56805.5)     		tx = 56805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139335632324219 × 216)
    floor (0.139335632324219 × 65536)
    floor (9131.5)     		ty = 9131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56805 / 9131 ti = "16/56805/9131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56805/9131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56805 ÷ 216
    56805 ÷ 65536     		x = 0.866775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9131 ÷ 216
    9131 ÷ 65536     		y = 0.139328002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866775512695312 × 2 - 1) × π
    0.733551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30451851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139328002929688 × 2 - 1) × π
    0.721343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26616899263853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30451851} λ = 2.30451851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26616899263853))-π/2
    2×atan(9.64238989811155)-π/2
    2×1.46745702983636-π/2
    2.93491405967273-1.57079632675     		φ = 1.36411773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30451851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.039184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36411773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.158189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56805 KachelY 9131 2.30451851 1.36411773 132.039184 78.158189
    Oben rechts KachelX + 1 56806 KachelY 9131 2.30461439 1.36411773 132.044678 78.158189
    Unten links KachelX 56805 KachelY + 1 9132 2.30451851 1.36409806 132.039184 78.157062
    Unten rechts KachelX + 1 56806 KachelY + 1 9132 2.30461439 1.36409806 132.044678 78.157062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36411773-1.36409806) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dl = 125.31757000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36411773-1.36409806) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dr = 125.31757000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30451851-2.30461439) × cos(1.36411773) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20521032096939 × 6371000     		do = 125.353028275345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30451851-2.30461439) × cos(1.36409806) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205229572310747 × 6371000     		du = 125.364787985705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36411773)-sin(1.36409806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20521032096939-0.205229572310747)×R²
    abs(2.30461439-2.30451851)×1.92513413567463e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92513413567463e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92513413567463e-05×40589641000000     		ar = 15709.6737456153m²