Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56805 / 84055
↖ ↑ ↗
← S 45.257489°
W 23.980408°		 ← 215 m → S 45.257489°
W 23.977661°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 45.259422°
W 23.980408°		 ← 214.99 m →
46 214 m²		 S 45.259422°
W 23.977661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433391571044922 y=0.641292572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433391571044922 × 217)
    floor (0.433391571044922 × 131072)
    floor (56805.5)     		tx = 56805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641292572021484 × 217)
    floor (0.641292572021484 × 131072)
    floor (84055.5)     		ty = 84055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56805 / 84055 ti = "17/56805/84055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56805/84055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56805 ÷ 217
    56805 ÷ 131072     		x = 0.433387756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84055 ÷ 217
    84055 ÷ 131072     		y = 0.641288757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433387756347656 × 2 - 1) × π
    -0.133224487304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.41853707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641288757324219 × 2 - 1) × π
    -0.282577514648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.88774344406382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41853707} λ = -0.41853707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88774344406382))-π/2
    2×atan(0.411583466754551)-π/2
    2×0.390452068993765-π/2
    0.78090413798753-1.57079632675     		φ = -0.78989219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41853707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.980408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78989219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.257489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56805 KachelY 84055 -0.41853707 -0.78989219 -23.980408 -45.257489
    Oben rechts KachelX + 1 56806 KachelY 84055 -0.41848913 -0.78989219 -23.977661 -45.257489
    Unten links KachelX 56805 KachelY + 1 84056 -0.41853707 -0.78992593 -23.980408 -45.259422
    Unten rechts KachelX + 1 56806 KachelY + 1 84056 -0.41848913 -0.78992593 -23.977661 -45.259422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78989219--0.78992593) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78989219--0.78992593) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41853707--0.41848913) × cos(-0.78989219) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.703921894747991 × 6371000     		do = 214.995865605715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41853707--0.41848913) × cos(-0.78992593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.7038979295883 × 6371000     		du = 214.988546029082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78989219)-sin(-0.78992593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703921894747991-0.7038979295883)×R²
    abs(-0.41848913--0.41853707)×2.39651596914969e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39651596914969e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39651596914969e-05×40589641000000     		ar = 46214.195686158m²