Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56804 / 44322
↖ ↑ ↗
← N 50.229638°
W 23.983154°		 ← 195.38 m → N 50.229638°
W 23.980408°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.227881°
W 23.983154°		 ← 195.39 m →
38 166 m²		 N 50.227881°
W 23.980408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433383941650391 y=0.338153839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433383941650391 × 217)
    floor (0.433383941650391 × 131072)
    floor (56804.5)     		tx = 56804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338153839111328 × 217)
    floor (0.338153839111328 × 131072)
    floor (44322.5)     		ty = 44322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56804 / 44322 ti = "17/56804/44322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56804/44322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56804 ÷ 217
    56804 ÷ 131072     		x = 0.433380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44322 ÷ 217
    44322 ÷ 131072     		y = 0.338150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.13323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41858501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338150024414062 × 2 - 1) × π
    0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41858501} λ = -0.41858501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01693338853987))-π/2
    2×atan(2.76470347950948)-π/2
    2×1.2237344452641-π/2
    2.44746889052819-1.57079632675     		φ = 0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41858501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56804 KachelY 44322 -0.41858501 0.87667256 -23.983154 50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 56805 KachelY 44322 -0.41853707 0.87667256 -23.980408 50.229638
    Unten links KachelX 56804 KachelY + 1 44323 -0.41858501 0.87664190 -23.983154 50.227881
    Unten rechts KachelX + 1 56805 KachelY + 1 44323 -0.41853707 0.87664190 -23.980408 50.227881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41858501--0.41853707) × cos(0.87667256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 195.384571956272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41858501--0.41853707) × cos(0.87664190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639735765042348 × 6371000     		du = 195.391769442397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87667256)-sin(0.87664190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639735765042348)×R²
    abs(-0.41853707--0.41858501)×2.35654209282954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35654209282954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35654209282954e-05×40589641000000     		ar = 38166.1209722903m²