Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56802 / 84497
↖ ↑ ↗
← S 46.105613°
W 23.988647°		 ← 211.76 m → S 46.105613°
W 23.985901°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.107517°
W 23.988647°		 ← 211.75 m →
44 844 m²		 S 46.107517°
W 23.985901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433368682861328 y=0.644664764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433368682861328 × 217)
    floor (0.433368682861328 × 131072)
    floor (56802.5)     		tx = 56802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644664764404297 × 217)
    floor (0.644664764404297 × 131072)
    floor (84497.5)     		ty = 84497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56802 / 84497 ti = "17/56802/84497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56802/84497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56802 ÷ 217
    56802 ÷ 131072     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84497 ÷ 217
    84497 ÷ 131072     		y = 0.644660949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644660949707031 × 2 - 1) × π
    -0.289321899414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.908931553695885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908931553695885))-π/2
    2×atan(0.402954529391271)-π/2
    2×0.383050787458321-π/2
    0.766101574916643-1.57079632675     		φ = -0.80469475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80469475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.105613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56802 KachelY 84497 -0.41868088 -0.80469475 -23.988647 -46.105613
    Oben rechts KachelX + 1 56803 KachelY 84497 -0.41863294 -0.80469475 -23.985901 -46.105613
    Unten links KachelX 56802 KachelY + 1 84498 -0.41868088 -0.80472799 -23.988647 -46.107517
    Unten rechts KachelX + 1 56803 KachelY + 1 84498 -0.41863294 -0.80472799 -23.985901 -46.107517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80469475--0.80472799) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dl = 211.772039999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80469475--0.80472799) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dr = 211.772039999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.80469475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693331236280995 × 6371000     		do = 211.761205906099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.80472799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693307282521173 × 6371000     		du = 211.753889811279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80469475)-sin(-0.80472799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693331236280995-0.693307282521173)×R²
    abs(-0.41863294--0.41868088)×2.39537598226702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39537598226702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39537598226702e-05×40589641000000     		ar = 44844.3278993309m²