Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56802 / 84306
↖ ↑ ↗
← S 45.740693°
W 23.988647°		 ← 213.16 m → S 45.740693°
W 23.985901°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
S 45.742610°
W 23.988647°		 ← 213.15 m →
45 439 m²		 S 45.742610°
W 23.985901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433368682861328 y=0.643207550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433368682861328 × 217)
    floor (0.433368682861328 × 131072)
    floor (56802.5)     		tx = 56802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643207550048828 × 217)
    floor (0.643207550048828 × 131072)
    floor (84306.5)     		ty = 84306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56802 / 84306 ti = "17/56802/84306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56802/84306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56802 ÷ 217
    56802 ÷ 131072     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84306 ÷ 217
    84306 ÷ 131072     		y = 0.643203735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643203735351562 × 2 - 1) × π
    -0.286407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899775605868454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899775605868454))-π/2
    2×atan(0.406660901823021)-π/2
    2×0.386235312457784-π/2
    0.772470624915568-1.57079632675     		φ = -0.79832570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79832570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.740693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56802 KachelY 84306 -0.41868088 -0.79832570 -23.988647 -45.740693
    Oben rechts KachelX + 1 56803 KachelY 84306 -0.41863294 -0.79832570 -23.985901 -45.740693
    Unten links KachelX 56802 KachelY + 1 84307 -0.41868088 -0.79835916 -23.988647 -45.742610
    Unten rechts KachelX + 1 56803 KachelY + 1 84307 -0.41863294 -0.79835916 -23.985901 -45.742610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79832570--0.79835916) × R
    3.34599999999297e-05 × 6371000     		dl = 213.173659999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79832570--0.79835916) × R
    3.34599999999297e-05 × 6371000     		dr = 213.173659999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.79832570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697906801557068 × 6371000     		do = 213.158701316461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41863294) × cos(-0.79835916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697882837496176 × 6371000     		du = 213.151382075429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79832570)-sin(-0.79835916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697906801557068-0.697882837496176)×R²
    abs(-0.41863294--0.41868088)×2.39640608926672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39640608926672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39640608926672e-05×40589641000000     		ar = 45439.0403898716m²