Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56801 / 84053
↖ ↑ ↗
← S 45.253622°
W 23.991394°		 ← 215.01 m → S 45.253622°
W 23.988647°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 45.255555°
W 23.991394°		 ← 215 m →
46 217 m²		 S 45.255555°
W 23.988647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433361053466797 y=0.641277313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433361053466797 × 217)
    floor (0.433361053466797 × 131072)
    floor (56801.5)     		tx = 56801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641277313232422 × 217)
    floor (0.641277313232422 × 131072)
    floor (84053.5)     		ty = 84053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56801 / 84053 ti = "17/56801/84053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56801/84053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56801 ÷ 217
    56801 ÷ 131072     		x = 0.433357238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84053 ÷ 217
    84053 ÷ 131072     		y = 0.641273498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433357238769531 × 2 - 1) × π
    -0.133285522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41872882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641273498535156 × 2 - 1) × π
    -0.282546997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.88764757026458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41872882} λ = -0.41872882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88764757026458))-π/2
    2×atan(0.411622928716867)-π/2
    2×0.390485813975942-π/2
    0.780971627951884-1.57079632675     		φ = -0.78982470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41872882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.991394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78982470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.253622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56801 KachelY 84053 -0.41872882 -0.78982470 -23.991394 -45.253622
    Oben rechts KachelX + 1 56802 KachelY 84053 -0.41868088 -0.78982470 -23.988647 -45.253622
    Unten links KachelX 56801 KachelY + 1 84054 -0.41872882 -0.78985844 -23.991394 -45.255555
    Unten rechts KachelX + 1 56802 KachelY + 1 84054 -0.41868088 -0.78985844 -23.988647 -45.255555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78982470--0.78985844) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78982470--0.78985844) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41872882--0.41868088) × cos(-0.78982470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.703969829765638 × 6371000     		do = 215.010506193952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41872882--0.41868088) × cos(-0.78985844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.703945866208883 × 6371000     		du = 215.003187106897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78982470)-sin(-0.78985844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703969829765638-0.703945866208883)×R²
    abs(-0.41868088--0.41872882)×2.39635567548246e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39635567548246e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39635567548246e-05×40589641000000     		ar = 46217.3428436995m²