Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56801 / 44319
↖ ↑ ↗
← N 50.234909°
W 23.991394°		 ← 195.36 m → N 50.234909°
W 23.988647°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
N 50.233152°
W 23.991394°		 ← 195.37 m →
38 174 m²		 N 50.233152°
W 23.988647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433361053466797 y=0.338130950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433361053466797 × 217)
    floor (0.433361053466797 × 131072)
    floor (56801.5)     		tx = 56801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338130950927734 × 217)
    floor (0.338130950927734 × 131072)
    floor (44319.5)     		ty = 44319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56801 / 44319 ti = "17/56801/44319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56801/44319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56801 ÷ 217
    56801 ÷ 131072     		x = 0.433357238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44319 ÷ 217
    44319 ÷ 131072     		y = 0.338127136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433357238769531 × 2 - 1) × π
    -0.133285522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.41872882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338127136230469 × 2 - 1) × π
    0.323745727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01707719923873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41872882} λ = -0.41872882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01707719923873))-π/2
    2×atan(2.76510110203951)-π/2
    2×1.22378044145093-π/2
    2.44756088290186-1.57079632675     		φ = 0.87676456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41872882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.991394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87676456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.234909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56801 KachelY 44319 -0.41872882 0.87676456 -23.991394 50.234909
    Oben rechts KachelX + 1 56802 KachelY 44319 -0.41868088 0.87676456 -23.988647 50.234909
    Unten links KachelX 56801 KachelY + 1 44320 -0.41872882 0.87673389 -23.991394 50.233152
    Unten rechts KachelX + 1 56802 KachelY + 1 44320 -0.41868088 0.87673389 -23.988647 50.233152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87676456-0.87673389) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dl = 195.398570000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87676456-0.87673389) × R
    3.06700000000104e-05 × 6371000     		dr = 195.398570000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41872882--0.41868088) × cos(0.87676456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639641484377143 × 6371000     		do = 195.362973700685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41872882--0.41868088) × cos(0.87673389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639665059288992 × 6371000     		du = 195.370174085582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87676456)-sin(0.87673389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639641484377143-0.639665059288992)×R²
    abs(-0.41868088--0.41872882)×2.35749118484563e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35749118484563e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35749118484563e-05×40589641000000     		ar = 38174.3491674199m²