Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56797 / 44729
↖ ↑ ↗
← N 49.509160°
W 24.002381°		 ← 198.32 m → N 49.509160°
W 23.999634°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.507377°
W 24.002381°		 ← 198.33 m →
39 321 m²		 N 49.507377°
W 23.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433330535888672 y=0.341259002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433330535888672 × 217)
    floor (0.433330535888672 × 131072)
    floor (56797.5)     		tx = 56797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341259002685547 × 217)
    floor (0.341259002685547 × 131072)
    floor (44729.5)     		ty = 44729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56797 / 44729 ti = "17/56797/44729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56797/44729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56797 ÷ 217
    56797 ÷ 131072     		x = 0.433326721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44729 ÷ 217
    44729 ÷ 131072     		y = 0.341255187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433326721191406 × 2 - 1) × π
    -0.133346557617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.41892057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341255187988281 × 2 - 1) × π
    0.317489624023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.997423070394508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41892057} λ = -0.41892057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997423070394508))-π/2
    2×atan(2.71128602525675)-π/2
    2×1.21744709037809-π/2
    2.43489418075619-1.57079632675     		φ = 0.86409785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41892057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.002381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86409785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.509160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56797 KachelY 44729 -0.41892057 0.86409785 -24.002381 49.509160
    Oben rechts KachelX + 1 56798 KachelY 44729 -0.41887263 0.86409785 -23.999634 49.509160
    Unten links KachelX 56797 KachelY + 1 44730 -0.41892057 0.86406673 -24.002381 49.507377
    Unten rechts KachelX + 1 56798 KachelY + 1 44730 -0.41887263 0.86406673 -23.999634 49.507377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86409785-0.86406673) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dl = 198.265519999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86409785-0.86406673) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dr = 198.265519999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41892057--0.41887263) × cos(0.86409785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649326473729682 × 6371000     		do = 198.321018740349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41892057--0.41887263) × cos(0.86406673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649350140479713 × 6371000     		du = 198.32824717499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86409785)-sin(0.86406673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649326473729682-0.649350140479713)×R²
    abs(-0.41887263--0.41892057)×2.36667500312926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36667500312926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36667500312926e-05×40589641000000     		ar = 39320.936485278m²