Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56794 / 8990
↖ ↑ ↗
← N 78.316084°
E131.978760°		 ← 123.69 m → N 78.316084°
E131.984253°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
N 78.314972°
E131.978760°		 ← 123.70 m →
15 297 m²		 N 78.314972°
E131.984253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866615295410156 y=0.137184143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866615295410156 × 216)
    floor (0.866615295410156 × 65536)
    floor (56794.5)     		tx = 56794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137184143066406 × 216)
    floor (0.137184143066406 × 65536)
    floor (8990.5)     		ty = 8990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56794 / 8990 ti = "16/56794/8990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56794/8990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56794 ÷ 216
    56794 ÷ 65536     		x = 0.866607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8990 ÷ 216
    8990 ÷ 65536     		y = 0.137176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866607666015625 × 2 - 1) × π
    0.73321533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30346390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137176513671875 × 2 - 1) × π
    0.72564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27968719833139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30346390} λ = 2.30346390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27968719833139))-π/2
    2×atan(9.77362272583255)-π/2
    2×1.46883493045693-π/2
    2.93766986091386-1.57079632675     		φ = 1.36687353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30346390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.978760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36687353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.316084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56794 KachelY 8990 2.30346390 1.36687353 131.978760 78.316084
    Oben rechts KachelX + 1 56795 KachelY 8990 2.30355977 1.36687353 131.984253 78.316084
    Unten links KachelX 56794 KachelY + 1 8991 2.30346390 1.36685412 131.978760 78.314972
    Unten rechts KachelX + 1 56795 KachelY + 1 8991 2.30355977 1.36685412 131.984253 78.314972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36687353-1.36685412) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dl = 123.66110999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36687353-1.36685412) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dr = 123.66110999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30346390-2.30355977) × cos(1.36687353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202512394371955 × 6371000     		do = 123.692093755804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30346390-2.30355977) × cos(1.36685412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202531402152776 × 6371000     		du = 123.703703475864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36687353)-sin(1.36685412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202512394371955-0.202531402152776)×R²
    abs(2.30355977-2.30346390)×1.90077808206734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90077808206734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90077808206734e-05×40589641000000     		ar = 15296.619447846m²