Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56791 / 44685
↖ ↑ ↗
← N 49.587568°
W 24.018860°		 ← 198 m → N 49.587568°
W 24.016113°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 49.585787°
W 24.018860°		 ← 198.01 m →
39 207 m²		 N 49.585787°
W 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433284759521484 y=0.340923309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433284759521484 × 217)
    floor (0.433284759521484 × 131072)
    floor (56791.5)     		tx = 56791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340923309326172 × 217)
    floor (0.340923309326172 × 131072)
    floor (44685.5)     		ty = 44685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56791 / 44685 ti = "17/56791/44685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56791/44685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56791 ÷ 217
    56791 ÷ 131072     		x = 0.433280944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44685 ÷ 217
    44685 ÷ 131072     		y = 0.340919494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433280944824219 × 2 - 1) × π
    -0.133438110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.41920819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340919494628906 × 2 - 1) × π
    0.318161010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.999532293977791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41920819} λ = -0.41920819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999532293977791))-π/2
    2×atan(2.71701076894208)-π/2
    2×1.21813132858202-π/2
    2.43626265716404-1.57079632675     		φ = 0.86546633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41920819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.018860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86546633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.587568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56791 KachelY 44685 -0.41920819 0.86546633 -24.018860 49.587568
    Oben rechts KachelX + 1 56792 KachelY 44685 -0.41916025 0.86546633 -24.016113 49.587568
    Unten links KachelX 56791 KachelY + 1 44686 -0.41920819 0.86543525 -24.018860 49.585787
    Unten rechts KachelX + 1 56792 KachelY + 1 44686 -0.41916025 0.86543525 -24.016113 49.585787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86546633-0.86543525) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86546633-0.86543525) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41920819--0.41916025) × cos(0.86546633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648285123617327 × 6371000     		do = 198.002963611684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41920819--0.41916025) × cos(0.86543525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648308787543523 × 6371000     		du = 198.010191183853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86546633)-sin(0.86543525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648285123617327-0.648308787543523)×R²
    abs(-0.41916025--0.41920819)×2.36639261956828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36639261956828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36639261956828e-05×40589641000000     		ar = 39207.4170379833m²